Question

【題目】如圖，已知直線y＝ax＋b與雙曲線y＝ (x＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)(A與B不重合)，直線AB與x軸交于P(x0，0)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，3)，(3，y2)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若b＝y(tǒng)1＋1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)，且AB＝BP，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)．

(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，1)．

【解析】試題分析：

（1）把A、B的坐標(biāo)代入中可求得的值，由此可得B的坐標(biāo)，再把A、B的坐標(biāo)代入列方程組解得的值可得一次函數(shù)的解析式，由一次函數(shù)的解析式可求得P的坐標(biāo)；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D，AE⊥OP于點(diǎn)E，由題意知DO＝AE＝y1，AD＝x1，OP＝6，OC＝b＝y1＋1，AB＝BP，∴CD＝OC－OD＝y1＋1－y1＝1，由AD∥x軸，可得，即；

由AB＝BP及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ， y1），再由A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上可得x1·y1＝ ·y1，解得x1＝2，代入，解得y1＝2，這樣就可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)了.

試題解析：

(1)∵直線y＝ax＋b與雙曲線y＝ (x＞0)交于A(1，3)，∴k＝1×3＝3，

∴雙曲線的解析式為y＝.

∵B(3，y2)在反比例函數(shù)的圖象上，

∴y2＝＝1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，1)．

∵直線y＝ax＋b經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，

∴，解得

∴直線的解析式為y＝－x＋4.令y＝0，則x＝4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)．

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，AE⊥x軸于點(diǎn)E，則AD∥x軸，

∴.

由題意知DO＝AE＝y1，AD＝x1，OP＝6，OC＝b＝y1＋1，AB＝BP，

∴CD＝OC－OD＝y1＋1－y1＝1，

∴.

∵AB＝BP，

∴由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ， y1）.

∵A，B兩點(diǎn)都是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，

∴x1·y1＝ ·y1，解得x1＝2，代入，解得y1＝2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，1)．