Question

【題目】如圖，拋物線y= x（x﹣k）經(jīng)過原點O，交x軸正半軸于A，過A的直線交拋物線于另一點B，AB交y軸正半軸于C，且OC=OA，B點的縱坐標為9

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為第一象限的拋物線上一點，連接PB、PC，設(shè)P點的橫坐標為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，連接OP、AP，若∠APO=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作BH⊥x軸于H．

由題意OC=OA=K，∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∵∠BHA=90°，

∴∠HBA=∠HAB=45°，

∴BH=AH=9，

∴OH=9﹣k，

∴B（k﹣9，9），

把B（k﹣9，9）代入y= x（x﹣k），

得到9= （k﹣9）×（﹣9），

∴k=5，

∴拋物線的解析式為y= x（x﹣5）．

（2）

解：如圖2中，作BH⊥x軸于H，連接OP、PH、PA．設(shè)P[m， m（m﹣5）]．

∵P（﹣4，9），A（5，0），C（0，5），

∴S△PBC=S△PAB﹣S△PCA=（S△PBH+S△PHA﹣S△ABH）﹣（S△PCO+S△POA﹣S△AOC）

= ×9×（m+4）+ ×9× m（m﹣5）﹣ ×9×9﹣[ ×5×m+ ×5× m（m﹣5）﹣ ×5×5]

= m2﹣m﹣10（m＞5）．

（3）

解：如圖3中設(shè)AC交OP于D，AC的中點為K，連接PK．

∵∠DPA=∠DCO=45°，∠PDA=CDO，

∴△PDA∽△CDO，

∴ = ，

∴ = ，∵∠CDP=∠ODP，

∴△CDP∽△ODA，

∴∠CPD=∠OAD=45°，

∴∠CPA=90°，

∵CK=KA，

∴PK= AC= ，

設(shè)P[m， m（m﹣5）]，

∵K（ ， ），

∴（m﹣ ）2+[ m（m﹣5）﹣ ]2=（ ）2，

整理得m（m﹣5）（m2﹣5m﹣4）=0，

∴m=0或5或 或 ，

∵m＞5，

∴m= ，

∴P（ ，1）．

【解析】（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．由題意OC=OA=K，∠AOC=90°，推出∠OAC=∠OCA=45°，由∠BHA=90°，推出∠HBA=∠HAB=45°，推出BH=AH=9，推出OH=9﹣k，推出B（k﹣9，9），把B（k﹣9，9）代入y= x（x﹣k），解方程即可．（2）如圖2中，作BH⊥x軸于H，連接OP、PH、PA．設(shè)P[m， m（m﹣5）]．根據(jù)S△PBC=S△PAB﹣S△PCA=（S△PBH+S△PHA﹣S△ABH）﹣（S△PCO+S△POA﹣S△AOC）計算即可．（3）如圖3中設(shè)AC交OP于D，AC的中點為K，連接PK．只要證明∠CPA=90°，根據(jù)PK= ，利用兩點間距離公式，列出方程，解方程即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和函數(shù)關(guān)系式的相關(guān)知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式才能正確解答此題．