【題目】已知如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn)四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點(diǎn)DOA中點(diǎn),點(diǎn)PBC上以每秒1個單位的速度由CB運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.

(1)△ODP的面積S=________.

(2)t為何值時(shí),四邊形PODB是平行四邊形?

(3)在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得ODQP為菱形?若存在,t的值并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(4)若△OPD為等腰三角形,請寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(請直接寫出答案不必寫過程)

【答案】(1)10;(2)5;(3)(8,4);(4)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(3,4),P2(2.5,4),P3(2,4),P4(8,4).

【解析】

試題(1)根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ODP的面積S;

(2)由于PB∥OD,根據(jù)平行四邊形的判定可知當(dāng)PB=OD=5時(shí),四邊形PODB是平行四邊形,再求出PC=5,從而求出t的值;

(3)根據(jù)菱形的判定,當(dāng)OD=OP=PQ=5時(shí),四邊形ODQP為菱形,在Rt△OPC中,利用勾股定理求出CP的值,進(jìn)而求出t的值及Q點(diǎn)的坐標(biāo);

(4)當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí),分三種情況進(jìn)行討論:①如果O為頂點(diǎn),那么OP=OD=5,②如果P為頂點(diǎn),那么PO=PD,③如果D為頂點(diǎn),那么DP=DO=5,分別做輔助線,利用勾股定理求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析:(1)∵O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(10,0),四邊形OABC為矩形,C(0,4),

∴OA=BC=10,OC=4,

點(diǎn)D是OA中點(diǎn),

∴OD=DA= OA=5,

∴△ODP的面積S= ODOC= ×5×4=10.

(2)解:∵PB∥OD,

∴當(dāng)PB=OD時(shí),四邊形PODB是平行四邊形,

∵OD=5,

∴PB=5,

∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5,

∵點(diǎn)P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運(yùn)動,

∴t=5

(3)解:當(dāng)OD=OP=PQ=5時(shí),ODQP為菱形,

在Rt△OPC中,由勾股定理得:

PC= = =3,

∴t=3,CQ=CP+PQ=3+5=8,

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,4)

(4)解:△OPD為等腰三角形時(shí),分三種情況:

①如果O為頂點(diǎn),那么OP=OD=5,

由勾股定理可以求得PC=3,此時(shí)P1(3,4);

②如果P為頂點(diǎn),那么PO=PD,

作PE⊥OA于E,則OE=ED=2.5,此時(shí)P2(2.5,4);

③如果D為頂點(diǎn),那么DP=DO=5,

作DF⊥BC于F,由勾股定理,得PF=3,

∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8,此時(shí)P3(2,4),P4(8,4).

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(3,4),P2(2.5,4),P3(2,4),P4(8,4).

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1)計(jì)算S(﹣26),T13)兩點(diǎn)間的直角距離dS,T)=   ,直線y4x+3上的一點(diǎn)Ha,b)又是它的“共同體直線”上的點(diǎn),求點(diǎn)H的坐標(biāo).

2)對于直線yax+b上的任意一點(diǎn)Mm,n),都有點(diǎn)N3m,2m3n)在它的“共同體直線”上,試求點(diǎn)L10,﹣)到直線yax+b的直角距離.

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