Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-ax²+4ax-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；
（2）若AB=2，求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形的面積與△AOC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法得出x=0時(shí)，y的值，即可得出答案，利用對(duì)稱軸公式求出即可；
（2）利用AB=2，對(duì)稱軸為x=2，得出A，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形的面積與△AOC的面積相等，得出△AOC的面積，即可得出以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形的高，再代入二次函數(shù)解析式即可得出答案．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-ax²+4ax-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3）；
∴拋物線的對(duì)稱軸為：x=-

4a

-2a

=2；

（2）∵AB=2，對(duì)稱軸為x=2，
∴A（1，0），B（3，0），
∴代入二次函數(shù)解析式得：
0=-a+4a-3，
∴解得：a=1，
∴y=-x²+4x-3；

（3）∵△AOC的面積為：

1

2

×AO×CO=

1

2

×1×3=

3

2

，
以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形的面積為

3

2

時(shí)，AB=2，
∴△PAB，AB邊上的高PE=

3

2

，
當(dāng)y=-

3

2

時(shí)，-

3

2

=-x²+4x-3；
解得：x=

4± 10

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（

4+ 10

2

，-

3

2

），（

4- 10

2

，-

3

2

），
當(dāng)y=

3

2

時(shí)，

3

2

=-x²+4x-3；
此方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（

4+ 10

2

，-

3

2

），（

4- 10

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及對(duì)稱軸公式和三角形面積公式等知識(shí)，此題主要分類討論思想的應(yīng)用，不要漏解．