Question

徒駭河大橋是我市第一座特大型橋梁，大橋橋體造型新穎，氣勢恢宏，兩條拱肋如長虹臥波，極具時代氣息（如圖①）．大橋為中承式懸索拱橋，大橋的主拱肋ACB是拋物線的一部分（如圖②），跨徑AB為100m，拱高OC為25m，拋物線頂點C到橋面的距離為17m．
（1）請建立適當的坐標系，求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）七月份汛期來臨，河水水位上漲，假設水位比AB所在直線高出1.96m，這時位于水面上的拱肋的跨徑是多少？在不計橋面厚度的情況，一條高出水面4.6m的游船是否能夠順利通過大橋？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先建立直角坐標系，設拋物線的函數關系式為y=ax²+c，把已知坐標代入解析式可解；
（2）把y=1.96代入函數關系式求出x的解即可．
解答：解：（1）以AB所在直線為x軸，直線OC為y軸，建立直角坐標系，
如圖所示：設拋物線所對應的函數關系式為y=ax²+c，由題意得B（50，0），C（0，25）
∴
解得a=-，c=25
∴拋物線對應的函數關系式是y=；

（2）當水位比AB所在直線高出1.96米時，
將y=1.96代入函數關系式得1.96=，
得x=±48，
∴由題意：48×2=96米，
故位于水面上的拱肋的跨徑是96米，
根據題意，游船的最高點到橋面的距離為（25-17）-（1.96+4.6）=1.44米，
所以游船能順利通過大橋．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．