【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,D點(diǎn)在拋物線y= x2+bx+c上,且OB=OC,AB=5,tan∠ACB= ,M是拋物線與y軸的交點(diǎn).
(1)求直線AC和拋物線的解析式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從A到D,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).問:當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△APQ是直角三角形?
(3)在(2)中當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí),四邊形PDCQ的面積最小,求此時(shí)△CMQ的面積.
【答案】
(1)
解:如圖1,∵tan∠ACB= ,
∴ = ,
∴設(shè)AO=3x,CO=4x,∵OB=OC,
∴BO=4x,
∴AB2=AO2+BO2,
則25=25x2,
解得:x=1(負(fù)數(shù)舍去),
∴AO=3,BO=CO=4,
∴A(0,3),B(﹣4,0),C(4,0),
∴設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+d,
則 ,
解得: ,
故直線AC的解析式為:y=﹣ x+3;
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD=8,
∴D(8,3),
∵B,D點(diǎn)都在拋物線y= x2+bx+c上,
∴ ,
解得: ,
故此拋物線解析式為:y= x2﹣ x﹣3
(2)
解:①如圖2,∵OA=3,OB=4,
∴AC=5.
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),PQ⊥AC,此時(shí)AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
∵PQ⊥AC,
∴∠AQP=∠AOC=90°,∠PAQ=∠ACO,
∴△APQ∽△CAO,
∴ = ,即 = ,
解得:t= .
②如圖3,
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),當(dāng)QP⊥AD,此時(shí)AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
∵QP⊥AD,
∴∠APQ=∠AOC=90°,∠PAQ=∠ACO,
∴△AQP∽△CAO,
∴ = ,即 = ,
解得:t= .
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離A點(diǎn) 或 個(gè)單位長度處,△APQ是直角三角形
(3)
解:如圖4,∵S四邊形PDCQ+S△APQ=S△ACD,且S△ACD= ×8×3=12,
∴當(dāng)△APQ的面積最大時(shí),四邊形PDCQ的面積最小,
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
設(shè)△APQ底邊AP上的高為h,作QH⊥AD于點(diǎn)H,
由△AQH∽△CAO可得: = ,
解得:h= (5﹣t),
∴S△APQ= t× (5﹣t)= (﹣t2+5t)=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴當(dāng)t= 時(shí),S△APQ達(dá)到最大值 ,此時(shí)S四邊形PDCQ=12﹣ = ,
故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)A, 個(gè)單位處時(shí),四邊形PDCQ面積最小,
則AQ=QC= ,
故△CMQ的面積為: S△AMC= × ×4×6=6.
【解析】(1)首先利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出A,C點(diǎn)坐標(biāo),再求出一次函數(shù)解析式,根據(jù)平行四邊形的性性質(zhì)求出點(diǎn)D坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出b、c的值,繼而得出二次函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),PQ⊥AC,此時(shí)AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,再由△APQ∽△CAO或△AQP∽△CAO,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出t的值,繼而確定點(diǎn)P的位置;(3)只需使△APQ的面積最大,就能滿足四邊形PDCQ的面積最小,設(shè)△APQ底邊AP上的高為h,作QH⊥AD于點(diǎn)H,由△AQH∽△CAO,利用對(duì)應(yīng)邊成比例得出h的表達(dá)式,繼而表示出△APQ的面積表達(dá)式,即可得出四邊形PDCQ的最小值,也可確定點(diǎn)P的位置,進(jìn)而得出Q的位置,進(jìn)而得出△CMQ的面積.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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【題目】如圖,河的兩岸l1與l2相互平行,A、B是l1上的兩點(diǎn),C、D是l2上的兩點(diǎn),某人在點(diǎn)A處測(cè)得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段AB上),測(cè)得∠DEB=60°,求C、D兩點(diǎn)間的距離.
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(1)求抽取了多少份作品;
(2)此次抽取的作品中等級(jí)為B的作品有 , 并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖 ;
(3)若該校共征集到800份作品,請(qǐng)估計(jì)等級(jí)為A的作品約有多少份.
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(2)動(dòng)點(diǎn)P從A到D,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).問:當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△APQ是直角三角形?
(3)在(2)中當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí),四邊形PDCQ的面積最小,求此時(shí)△CMQ的面積.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①2a+b=0;②a+c>b;③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0);④abc>0.其中正確的結(jié)論是(填寫序號(hào)).
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【題目】4月26日,2015黃河口(東營)國際馬拉松比賽拉開帷幕,中央電視臺(tái)體育頻道用直升機(jī)航拍技術(shù)全程直播.如圖,在直升機(jī)的鏡頭下,觀測(cè)馬拉松景觀大道A處的俯角為30°,B處的俯角為45°.如果此時(shí)直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為200米,點(diǎn)A、D、B在同一直線上,則AB兩點(diǎn)的距離是米.
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【題目】閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC邊上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足為E,求證:BC=2AE.
小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)A作AF⊥BC,垂足為F,得到∠AFB=∠BEA,從而可證△ABF≌△BAE(如圖2),使問題得到解決.
(1)根據(jù)閱讀材料回答:△ABF與△BAE全等的條件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個(gè))
參考小明思考問題的方法,解答下列問題:
(2)如圖3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC的中點(diǎn),E為DC的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC的延長線上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的長;
(3)如圖4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上,且AD=kDB(其中0<k< ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).
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