【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D,點(diǎn)E在BC上,連結(jié)BD,DE,∠CDE=∠ABD.
(1)證明:DE是⊙O的切線;
(2)若BD=12,sin∠CDE=,求圓O的半徑和AC的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)圓O的半徑為;AC=.
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)OD,如圖,根據(jù)圓周角定理,由AB為⊙O的直徑得∠ADO+∠ODB=90°,再由OB=OD得∠OBD=∠ODB,則∠ADO+∠ABD=90°,由于∠CDE=∠ABD,所以∠ADO+∠CDE=90°,然后根據(jù)平角的定義得∠ODE=90°,于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線;(2)由于∠CDE=∠ABD,則sin∠CDE=sin∠ABD=,在Rt△ABD中,根據(jù)正弦的定義得sin∠ABD==,設(shè)AD=5x,則AB=13x,由勾股定理得BD=12x,所以12x=12,解得x=1,得到AB=13,則圓O的半徑為;再連結(jié)OC,如圖,由于CA=CB,OA=OB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CO⊥AB,則利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD,然后在Rt△ACO中,利用∠ACO的正弦可計(jì)算出AC的長(zhǎng).
試題解析:(1)證明:連結(jié)OD,如圖,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠ODB=90°,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ADO+∠ABD=90°,
∵∠CDE=∠ABD,
∴∠ADO+∠CDE=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切線;
(2)解:∵∠CDE=∠ABD,
∴sin∠CDE=sin∠ABD=,
在Rt△ABD中,sin∠ABD==,
設(shè)AD=5x,則AB=13x,
∴BD==12x,
∴12x=12,解得x=1,
∴AB=13,
∴圓O的半徑為;
連結(jié)OC,如圖,
∵CA=CB,OA=OB,
∴CO⊥AB,
∴∠ACO=∠ABD,
在Rt△ACO中,∵sin∠ACO==,
∴AC=×=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)M,N分別在邊AD和邊BC上,點(diǎn)E,F(xiàn)在線段BD上,且AM=CN,DF=BE.求證:
(1)∠DFM=∠BEN;
(2)四邊形MENF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步緩解城市交通壓力,湖州推出公共自行車(chē).公共自行車(chē)在任何一個(gè)網(wǎng)店都能實(shí)現(xiàn)通租通還,某校學(xué)生小明統(tǒng)計(jì)了周六校門(mén)口停車(chē)網(wǎng)點(diǎn)各時(shí)段的借、還自行車(chē)數(shù),以及停車(chē)點(diǎn)整點(diǎn)時(shí)刻的自行車(chē)總數(shù)(稱(chēng)為存量)情況,表格中x=1時(shí)的y的值表示8:00點(diǎn)時(shí)的存量,x=2時(shí)的y值表示9:00點(diǎn)時(shí)的存量…以此類(lèi)推,他發(fā)現(xiàn)存量y(輛)與x(x為整數(shù))滿足如圖所示的一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系.
時(shí)段 | x | 還車(chē)數(shù) | 借車(chē)數(shù) | 存量y |
7:00﹣8:00 | 1 | 7 | 5 | 15 |
8:00﹣9:00 | 2 | 8 | 7 | n |
… | … | … | … | … |
根據(jù)所給圖表信息,解決下列問(wèn)題:
(1)m= ,解釋m的實(shí)際意義: ;
(2)求整點(diǎn)時(shí)刻的自行車(chē)存量y與x之間滿足的二次函數(shù)關(guān)系式;
(3)已知10:00﹣11:00這個(gè)時(shí)段的還車(chē)數(shù)比借車(chē)數(shù)的2倍少4,求此時(shí)段的借車(chē)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°.
(1)作∠B的平分線BD,交AC于點(diǎn)D;作AB的中點(diǎn)E(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必寫(xiě)作法和證明);
(2)連接DE,求證:△ADE≌△BDE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱(chēng)為“果圓”.如圖,A,B,C,D是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,8),且AB=6,點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓的圓心,P的坐標(biāo)為(1,0),連接DB,AD,動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別從A,O兩點(diǎn)出發(fā),以相同的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)F到達(dá)B點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止,過(guò)點(diǎn)F作FG∥BD交AD于點(diǎn)G.
(1)求“果圓”拋物線部分的解析式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
(2)在“果圓”上是否存在一點(diǎn)H,使得△DBH為直角三角形?若存在,求出H點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)設(shè)M,N分別是GE,GF的中點(diǎn),求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,MN所掃過(guò)的圖形面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某招聘考試分筆試和面試兩種,其中筆試按60%、面試按40%計(jì)算加權(quán)平均數(shù),作為總成績(jī).孔明筆試成績(jī)90分,面試成績(jī)85分,那么孔明的總成績(jī)是____分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O在直線AB上,OD是∠AOC的平分線,OE是∠COB的平分線.
(1)求∠DOE的度數(shù);
(2)如果∠AOD=51°17′,求∠BOE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若一次函數(shù)y=2x+b(b為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,5),則b的值為________.
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