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【題目】如圖,是一副學生用的三角板,在ABC 中,∠C90°,∠A60°,∠B30°;在A1B1C1中,∠C190°,∠B1A1 C145°,∠B145°,且A1B1CB.若將邊A1C1與邊CA重合,其中點A1與點C重合.將三角板A1B1C1繞點CA1)按逆時針方向旋轉,旋轉過的角為α,旋轉過程中邊A1C1與邊AB的交點為M,設ACa

1)計算A1C1的長;

2)當α30°時,證明:B1C1AB;

3)若a,當α45°時,計算兩個三角板重疊部分圖形的面積;

4)當α60°時,用含a的代數式表示兩個三角板重疊部分圖形的面積.

(參考數據:sin15°,cos15°tan15°2,sin75°,cos75°,tan75°2+

【答案】1A1C1;(2)見解析;(3)兩個三角板重疊部分圖形的面積=3+3;(4)兩個三角板重疊部分圖形的面積=

【解析】

1)在RtABC中,由特殊銳角三角函數值,先求得BC的長,然后在RtA1B1C1中利用特殊銳角三角函數即可求得A1C1的長;
2)利用三角形的外角的性質求得∠BMC=90°,然后利用同位角相等,兩直線平行進行判定即可;
3)兩個三角板重疊部分圖形的面積=A1B1C1的面積-BC1M的面積;
4)兩個三角板重疊部分圖形的面積=

1)在RtABC中,∠B30°,ACa,

由特殊銳角三角函數可知:,

BC

B1 A1

RtA1B1C1,∠B1=∠45°,

A1C1

2)∵∠ACM30°,∠A60°,

∴∠BMC90°

∴∠C1=∠BMC

B1C1AB

3)如下圖:

由(1)可知:A1C13+

∴△A1B1C1的面積=

∵∠A1B1C145°,∠ABC30°

∴∠MBC115°

RtBC1M中,C1MBC1tan15°=(3+)(2)=3

RtBC1M的面積=3+)(3)=3

∴兩個三角板重疊部分圖形的面積=A1B1C1的面積﹣BC1M的面積=3+3

4)由(1)可知:BC,A1C1,

C1FA1C1tan30°a,

=×a×a=

∵∠MCA60°,∠A60°,

∴∠AMC60°

MCACMAa

C1MC1A1MC

∵∠MCA60°,

∴∠C1A1B30°,

∴∠C1MD=∠B+C1A1B60°

RtDC1M中,由特殊銳角三角函數可知:C1DC1Mtan60°a,

C1MC1D=a2,

兩個三角板重疊部分圖形的面積=a2

練習冊系列答案
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