Question

如圖10，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）(q＜n），點B，D在直線y＝x＋1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，

CD＝4，BE＝DE，△AEB的面積是2．

求證：四邊形ABCD是矩形．

 

Answer 1

解1：∵ AB∥CD，

∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC.

∵ BE＝DE，

∴ △AEB≌△CED. 

∴ AB＝CD＝4.       

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.              

A（2，n），B（m，n）（m＞2），

∴ AB∥x軸，且CD∥x軸.

∵ m＞2，∴m＝6.                         

∴n＝×6＋1＝4.

∴ B（6，4）.                                

∵△AEB的面積是2，

∴△AEB的高是1.                        

∴平行四邊形ABCD的高是2.

∵ q＜n，

∴q＝2.

∴p＝2，                                

即D（2，2）.                 

∵點A（2，n），

∴DA∥y軸.                              

∴AD⊥CD，即∠ADC＝90°.      

∴四邊形ABCD是矩形.                     

解2：∵AB∥CD，

∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC.

∵ BE＝DE，

∴ △AEB≌△CED.

∴ AB＝CD＝4.     

∵AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.              

∵A（2，n），B（m，n）（m＞2），

∴ AB∥x軸，且CD∥x軸.

∵ m＞2，∴m＝6.                        

∴n＝×6＋1＝4.

∴ B（6，4）.      

過點E作EF⊥AB，垂足為F，

∵△AEB的面積是2，

∴EF＝1.                                ∵ q＜n，

∴點E的縱坐標是3.

∴點E的橫坐標是4.

∴點F的橫坐標是4.                 

∴點F是線段AB的中點.

∴直線EF是線段AB的中垂線.

∴EA＝EB.                          

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE＝EC，BE＝ED.

∴AC＝BD.                

∴四邊形ABCD是矩形.