Question

15．已知反比例函數(shù)的兩支圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用這一結(jié)論解集下列問(wèn)題：如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B、D，已知點(diǎn)A（-m，0）、C（m，0）．
（1）填空：無(wú)論k值取何值時(shí)，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）①當(dāng)m=2，點(diǎn)B坐標(biāo)為（p，1）時(shí)，四邊形ABCD的形狀一定是矩形；
②填空：對(duì)①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)；
（3）四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，則一定是平行四邊形；
（2）①把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得p的值，利用待定系數(shù)法求得k的值，利用勾股定理求得OB的值，從而得出OA=OB=OC，得出∠ABC=90°；
②根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在反比例函數(shù)圖象上，連線經(jīng)過(guò)O，且連線等于AC的一定有兩組，據(jù)此即可判斷；
（3）根據(jù)四邊形ABCD的對(duì)角線一定不能垂直即可判斷．

解答 解：（1）根據(jù)對(duì)稱性可得：OB=OD，
∵A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案是：平行四邊形；

（2）①∵點(diǎn)B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，解得p=$\sqrt{3}$把B（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OB²=（$\sqrt{3}$）²+1²=4，
∴OB=2．
∵m=2，
∴OA=OC=2，
∴OA=OB=OC=2，
∴∠ABC=90°，
由（1）有，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
故答案為矩形；

②由①得，m=2，
如圖，作出第一、三象限的角的平分線，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)M、N．則MN的解析式是y=x．
當(dāng)x=m=2時(shí)，反比例函數(shù)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直線y=x上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（2，2）．
∵2＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在OM的延長(zhǎng)線上，即MN＜AC．
則能使四邊形ABCD是矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)，
故答案是：2；
（3）四邊形ABCD不能是菱形．
理由是：∵A（-m，0）、C（m，0），
∴四邊形ABCD的對(duì)角線AC在x軸上，
又∵點(diǎn)B、D分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點(diǎn)，
∴對(duì)角線BD和AC不可能垂直．
∴四邊形ABCD不可能是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的圖象的對(duì)稱性以及菱形的判定，正確理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是關(guān)鍵．