【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函數(shù)的解析式以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖①,過此二次函數(shù)拋物線圖象上一動(dòng)點(diǎn)P(m,n)(0<m<3)作y軸平行線,交直線BC于點(diǎn)E,是否存在一點(diǎn)P,使線段PE的長最大?若存在,求出PE長的最大值;若不存在,說明理由.
(3)如圖②,過點(diǎn)A作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)F,連接DA、DB、四邊形OAFC沿射線CB方向運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長度,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng),求運(yùn)動(dòng)過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+4x﹣3,(2,1);(2)存在,當(dāng)m=時(shí),PE的長有最大值,最大值為.(3)四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值為2.
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式,然后化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)先求得直線BC的解析式,設(shè)P(x,﹣x2+4x﹣3),則F(x,x﹣3),根據(jù)PF等于P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去F點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求得PF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,從而求得P的坐標(biāo)和PF的最大值;
(3)線利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y=x﹣1,直線BC的解析式為:y=x﹣3,從而得到AD∥BC,且與x軸正半軸夾角均為45°,由平行于與y軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求得F(1,﹣2),從而可求得AF=2,由當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng),可知0≤t≤,由AF∥A′F′,AD∥C′B,可知四邊形AFF′A′為平行四邊形,根據(jù)由平行四邊形的面積公式可知當(dāng)t=時(shí),重合部分的面積最大,設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AK=1.依據(jù)平行四邊形的面積公式可求得重合部分的最大面積為2.
解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:3a=﹣3,
解得:a=﹣1.
∵將a=﹣1代入得:y=﹣(x﹣1)(x﹣3)=﹣x2+4x﹣3.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3.
由拋物線的對(duì)稱軸方程可知:x=﹣=2,
將x=2代入拋物線的解析式得:y=1.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1).
(2)存在.
理由:設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b.
將B(3,0),C(0,﹣3)代入上式,得:,
解得:k=1,b=﹣3.
則直線BC的解析式為y=x﹣3.
∵PE∥y軸,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)均為m.
∵將x=m代入直線BC的解析式的y=m﹣3,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m﹣3).
將x=m代入拋物線的解析式得y=﹣m2+4m﹣3,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+4m﹣3).
∴PE═﹣m2+4m﹣3﹣(m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m2﹣3m+﹣)=﹣(m﹣)2+.
∴當(dāng)m=時(shí),PE的長有最大值,最大值為.
(3)如圖所示:
∵A(1,0)、B(3,0)、D(2,1)、C(0,﹣3),
∴可求得直線AD的解析式為:y=x﹣1;直線BC的解析式為:y=x﹣3.
∴AD∥BC,且與x軸正半軸夾角均為45°.
∵AF∥y軸,
∴F(1,﹣2),
∴AF=2.
∵當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng),
∴0≤t≤.
∵AF∥A′F′,AD∥C′B,
∴四邊形AFF′A′為平行四邊形.
∵當(dāng)AA′有最大值時(shí),重合部分的面積最大.
∴當(dāng)t=時(shí),重合部分的面積最大.
設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K,則AK=AA′==1.
∴S=SAFF′A′=AFAK=2×1=2.
四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知直線y=﹣x+3分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B.點(diǎn)P是射線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).把線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對(duì)應(yīng)線段為PO′,再延長PO′到C使CO′=PO′,連結(jié)AC,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,0),△APC的面積為S.
(1)直接寫出OA和OB的長,OA的長是 ,OB的長是 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上(不含端點(diǎn))時(shí),求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)以A,P,C為頂點(diǎn)的三角形和△AOB相似時(shí),求出所有滿足條件的m的值;
(4)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)P′落在直線AB上時(shí),m的值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)三角形的三個(gè)外角之比為5:4:3,則這個(gè)三角形內(nèi)角中最大的角是__________度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y交于點(diǎn)C,∠BAC的平分線與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線相交于點(diǎn)Q,P是線段AB上一點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別交AD,AC于點(diǎn)E,F(xiàn),連接BE,BF.
(1)如圖1,求線段AC所在直線的解析式;
(2)如圖1,求△BEF面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,以EF為邊,在它的右側(cè)作正方形EFGH,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)正方形EFGH也隨之運(yùn)動(dòng)和變化,當(dāng)正方形EFGH的頂點(diǎn)G或頂點(diǎn)H在線段BC上時(shí),求正方形EFGH的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了有效控制酒后駕駛,桐鄉(xiāng)市某交警的汽車在南北方向的復(fù)興路上巡邏,規(guī)定向北為正,向南為負(fù),已知從出發(fā)點(diǎn)開始所行使的路程(單位:千米)為:+3,﹣2,+1,+2,﹣3,﹣1,+2
(1)若此時(shí)遇到緊急情況要求這輛汽車回到出發(fā)點(diǎn),請(qǐng)問司機(jī)該如何行使?
(2)當(dāng)該輛汽車回到出發(fā)點(diǎn)時(shí),一共行駛了多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】榮慶公司計(jì)劃從商店購買同一品牌的臺(tái)燈和手電筒,已知購買一個(gè)臺(tái)燈比購買一個(gè)手電筒多用20元,若用400元購買臺(tái)燈和用160元購買手電筒,則購買臺(tái)燈的個(gè)數(shù)是購買手電筒個(gè)數(shù)的一半.
(1)求購買該品牌一個(gè)臺(tái)燈、一個(gè)手電筒各需要多少元?
(2)經(jīng)商談,商店給予榮慶公司購買一個(gè)該品牌臺(tái)燈贈(zèng)送一個(gè)該品牌手電筒的優(yōu)惠,如果榮慶公司需要手電筒的個(gè)數(shù)是臺(tái)燈個(gè)數(shù)的2倍還多8個(gè),且該公司購買臺(tái)燈和手電筒的總費(fèi)用不超過670元,那么榮慶公司最多可購買多少個(gè)該品牌臺(tái)燈?
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【題目】已知4個(gè)礦泉水空瓶可以換礦泉水一瓶,現(xiàn)有16個(gè)礦泉水空瓶,若不交錢,最多可以喝礦泉水( )
A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為直線AB上一點(diǎn),∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90度.
(1)請(qǐng)你數(shù)一數(shù),圖中有多少個(gè)角;
(2)求出∠BOD的度數(shù);
(3)請(qǐng)通過計(jì)算說明OE是否平分∠BOC.
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【題目】(1)某城市自今年6月調(diào)整出租車價(jià)格,新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:出租車起步允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米,超過3千米的部分按每千米另收費(fèi).甲說:“我乘這種出租車走了8千米,付了24.5元;”乙說:“我乘這種出租車走了13千米,付了36元”.請(qǐng)你算一算這種出租車的起步價(jià)是多少元?以及超過3千米后,每千米的車費(fèi)是多少元?
(2)如圖,長方形紙片ABCD中,AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合,折痕為DG,求AG的長.
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