Question

已知：拋物線y=-x²+（2m+2）x-（m²+4m-3）
（1）拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m為不小于零的整數(shù)，且拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是整數(shù)點(diǎn)時(shí)，求此拋物線的解析式；
（3）若設(shè)（2）中的拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為B，M為y軸上一點(diǎn)，且MA=MB，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可令函數(shù)值y=0，則所得方程的△＞0，由此可求出m的取值范圍；
（2）已知m為不小于零的整數(shù)，結(jié)合（1）的m的取值范圍，可求出m的值，即可確定拋物線的解析式，然后根據(jù)“拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是整數(shù)點(diǎn)”，將不合題意的拋物線解析式舍去；
（3）根據(jù)（2）的拋物線可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出MA、MB的長(zhǎng)，根據(jù)MA=MB，即可求出M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0
即：（2m+2）²-4×（-1）×[-（m²+4m-3）]＞0
解得，m＜2（2分）

（2）∵m為不小于零的整數(shù)，
∴m=0或m=1（3分）
當(dāng)m=0時(shí)，y=-x²+2x+3與x軸的交點(diǎn)是（-1，0），（3，0）；（4分）
當(dāng)m=1時(shí)，y=-x²+4x-2與x軸的交點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，舍去；（5分）
綜上所述這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）設(shè)M（0，y），連接MA，MB，
過點(diǎn)A作AC⊥y軸，垂足為C；

∵M(jìn)A=MB
∴AC²+CM²=OM²+OB²
即：1+（4-y）²=y²+3²（6分）
解得，y=1（7分）
∴M（0，1）．（8分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．