Question

【題目】綜合與實(shí)踐：再探平行四邊形的性質(zhì)

問(wèn)題情境：

學(xué)完平行四邊形的有關(guān)知識(shí)后，同學(xué)們開(kāi)展了再探平行四邊形性質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，以下是“希望小組”得到的一個(gè)性質(zhì)：

如圖1，已知平行四邊形中，，于點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，則．

問(wèn)題解決：

（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，還成立嗎？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）如圖2，連接和，若．求的度數(shù)；

（3）如圖3，若，，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且.則_________．（用含的三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】（1）還成立，證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，然后根據(jù)等量代換即可得證；

（2）由（1）可知，從而可得出四點(diǎn)共圓，再根據(jù)圓周角定理即可得；

（3）如圖（見(jiàn)解析），如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，先根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)得出，，，再根據(jù)角的和差、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，最后在中，利用余弦三角函數(shù)的定義即可得．

（1）還成立，證明如下：

∵四邊形是平行四邊形

∴

∴

在四邊形中，，，即

∴

∴；

（2）由（1）知，

則如圖，四點(diǎn)共圓

由圓周角定理得：；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E

四邊形ABCD是平行四邊形，且

平行四邊形ABCD是菱形

，，

又

是等腰三角形

（等腰三角形的三線合一）

則在中，

即

故答案為：．