Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，把梯形分成四部分，記這四部分的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，則下列判斷S₁+S₂和S₃+S₄的大小關(guān)系正確的是（　�。�

• A、S₁+S₂＞S₃+S₄
• B、S₁+S₂＜S₃+S₄
• C、S₁+S₂=S₃+S₄
• D、無(wú)法判斷

Answer 1

分析：設(shè)AD=m，BC=n，根據(jù)同底等高判斷△ABC和△DBC的面積相等，然后根據(jù)三角形的相似比，把s₂，s₃，s₄都用s₁以及m，n表示出來(lái)，然后用（S₁+S₂）-（S₃+S₄）化簡(jiǎn)結(jié)果后看誰(shuí)大誰(shuí)�。�

解答：解：設(shè)AD=m，BC=n，
∵△ABC和△DBC同底等高，
∴S_△ABC=S_△DBC，
∴S₃+S₂=S₄+S₂，即：S₃=S₄，
∵△AOD∽△COB，
∴S₁：S₂=（OD：OB）²=m²：n²，
∴S2=

n2

m2

•S1，
∵S₁：S₃=OD：OB=m：n，
∴S3=

n

m

•S1，
∴(S1+S2)-(S3+S4)=S1+

n2

m2

•S1-2•

n

m

•S1=S1(1+

n2

m2

-2•

n

m

)=S1(1-

n

m

)2，
∵(1-

n

m

)2＞0，
∴S₁+S₂＞S₃+S₄．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積的等底等高或者等高等情況的特性，本題最后做一個(gè)差的運(yùn)算來(lái)判斷大小，難度適中．