Question

有一臺單功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數(shù)x₁，只顯示不運算，接著再輸入整數(shù)x₂后則顯示|x₁-x₂|的結(jié)果．比如依次輸入1，2，則輸出的結(jié)果是|1-2|=1；此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進行求差后再取絕對值的運算．
（1）若小明依次輸入3，4，5，則最后輸出的結(jié)果是

4

；
（2）若小明將1到2011這2011個整數(shù)隨意地一個一個的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m，則m的最大值為

2010

；
（3）若小明將1到n（n≥3）這n個正整數(shù)隨意地一個一個的輸入，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為m．探究m的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出輸入與輸出結(jié)果的規(guī)律求出即可；
（2）根據(jù)題意每次輸入都是與前一次運算結(jié)果求差后取絕對值，轉(zhuǎn)化為奇偶性的性質(zhì)然后討論最大值．
（3）根據(jù)分析的奇偶性進行構(gòu)造，其中k為非負整數(shù)，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合指的是按（*）式結(jié)構(gòu)計算分別得出最大值與最小值．

解答：解：（1）根據(jù)題意可以得出：||3-4|-5|=|1-5|=4；      
故答案為：4．
          
（2）由于輸入的數(shù)都是非負數(shù)．當x₁≥0，x₂≥0時，|x₁-x₂|不超過x₁，x₂中最大的數(shù)．
對x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0，則||x₁-x₂|-x₃|不超過x₁，x₂，x₃中最大的數(shù)．
小明輸入這2011個數(shù)設(shè)次序是x₁，x₂，x₂₀₁₁，
相當于計算：||||x₁-x₂|-x₃|-x₂₀₁₁|-x₂₀₁₁|=P．因此P的值≤2011．
另外從運算奇偶性分析，x₁，x₂為整數(shù)．
|x₁-x₂|與x₁+x₂奇偶性相同．因此P與x₁+x₂+…+x₂₀₁₁的奇偶性相同．
但x₁+x₂+…+x₂₀₁₁=1+2+2011=偶數(shù)．于是斷定P≤2010．我們證明P可以取到2010．
對1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||（4k+1）-（4k+3）|-（4k+4）|-（4k+2）=|=0，對k=0，1，2，均成立．
因此，1-2008可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0．而后||2009-2010|-2011|=2010．
所以P的最大值為2010．
故答案為：2010；        
      
（3）對于任意兩個正整數(shù)x₁，x₂，|x₁-x₂|一定不超過x₁和x₂中較大的一個，對于任意三個正整數(shù)x₁，x₂，x₃，
||x₁-x₂|-x₃|一定不超過x₁，x₂和x₃中最大的一個，
以此類推，設(shè)小明輸入的n個數(shù)的順序為x₁，x₂，…x_n，則m=|||…|x₁-x₂|-x₃|-…|-x_n|，
m一定不超過x₁，x₂，…x_n，中的最大數(shù)，所以0≤m≤n，易知m與1+2+…+n的奇偶性相同；
1，2，3可以通過這種方式得到0：||3-2|-1|=0；
任意四個連續(xù)的正整數(shù)可以通過這種方式得到0：|||a-（a+1）|-（a+3）|-（a+2）|=0（*）；
下面根據(jù)前面分析的奇偶性進行構(gòu)造，其中k為非負整數(shù)，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合指的是按（*）式結(jié)構(gòu)計算．
當n=4k時，1+2+…+n為偶數(shù)，則m為偶數(shù)，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合可得到0，則最小值為0，前三個結(jié)合得到0，接下來連續(xù)四個結(jié)合得到0，僅剩下n，則最大值為n；
當n=4k+1時，1+2+…+n為奇數(shù)，則m為奇數(shù)，除1外，連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，則最小值為1，從1開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下n，則最大值為n；
當n=4k+2時，1+2+…+n為奇數(shù)，則m為奇數(shù)，從1開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下n和n-1，
則最小值為1，
從2開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下1和n，最大值為n-1；
當n=4k+3時，1+2+…+n為偶數(shù)，則m為偶數(shù)，前三個結(jié)合得到0，接下來連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，
則最小值為0，從3開始連續(xù)四個正整數(shù)結(jié)合得到0，僅剩下1，2和n，
則最大值為n-1．

點評：此題考查了整數(shù)的奇偶性問題以及含有絕對值的函數(shù)最值問題，雖然以計算為載體，但首先要有試驗觀察和分情況討論的能力．