Question

已知關于x的一元二次方程（m²-1）x²-（2m-1）x+1=0（m為實數(shù)）的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和大于零，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以用m表示出方程兩根的和與兩根的積，兩根的倒數(shù)和

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，即可得到關于m的不等式，即可求得m的范圍．

解答：解：設方程的兩根分別是x₁和x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：x₁+x₂=

2m-1

m2-1

，x₁•x₂=

1

m2-1

∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

＞0
即

2m-1

1

＞0
解得：m＞

1

2

且m≠1
△=[-（2m-1）]²-4（m²-1）
=4m²-4m+1-4m²+4=-4m+5
∵所給方程有兩個實數(shù)根，
∴-4m+5≥0
∴m≤

5

4

．
綜上可得：m的取值范圍為：

5

4

≥m＞

1

2

且m≠1．

點評：此題綜合考查了利用一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判別式，根與系數(shù)的關系．容易忽視的問題是二次項系數(shù)不等于0，和判別式△≥0這兩個條件．