22、我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．在學習《中點四邊形》時，小明和小亮產(chǎn)生了很大的意見分歧：
小明說：如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形；
小亮說：如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，則原四邊形一定是對角線相等的四邊形，而不一定是矩形．
（1）你認為誰的觀點錯誤的，請畫圖舉一個反例，并作簡單說明
反例如圖
．
（2）如果該四邊形的對角線互相垂直，則中點四邊形為
矩形
．
（3）如果該四邊形的對角線相等，則中點四邊形為
菱形
．
（4）如果該四邊形的對角線互相垂直且相等，則中點四邊形為
正方形
．
分析：（1）中點四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線的性質(zhì)；
（2）當原四邊形的對角線相等時，中點四邊形的形狀為菱形；
（3）當原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形的形狀為矩形；
（4）如果該四邊形的對角線互相垂直且相等，則中點四邊形為 正方形．
解答：解：（1）我認為小明的觀點是錯誤的，反例如圖所示．
在等腰梯形ABCD中
AC=BD，
∵M、Q是AB、AD的中點，
∴MQ∥BD，MQ=BD，
同理NP∥BD，NP=BD，
可得四邊形MNPQ是平行四邊形，
再由MN=PN可得四邊形MNPQ是菱形，
（2）∵四邊形的對角線互相垂直，
∴它的中點四邊形為矩形，
（3））∵四邊形的對角線相等，
∴它的中點四邊形為菱形，
（4））∵四邊形的對角線互相垂直且相等，
∴它的中點四邊形為正方形．
點評：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是牢記中點四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線的性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等邊三角形面積的方法：如圖（1），在△ABC中，AB=AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點A和底邊BC各等分點的線段，即可把這個三角形的面積m等分．
問題的提出：任意給定一個正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？
探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們先從簡單問題入手：怎樣從正三角形的中一心（正多邊形的各對稱軸的交點，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？
如果要把正三角形的面積四等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點（如圖（2），這些線段將這個正三角形分成了三個全等的等腰三角形）；再把所得的每個等腰三角形的底邊四等分，連接中心和各邊等分點（如圖（3），這些線段把這個正三角形分成了12個面積相等的小三角形）；最后，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起（如圖（4））．這樣就把正三角形的面積四等分．

（1）實驗與驗證：依照上述方法，利用刻度尺，在圖（5）中畫出一種將正三角形的面積五等分的簡單示意圖；
（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說明理由；
（3）拓展與延伸：怎樣從正方形的中心引線段，才能將這個正方形的面積m等分？（敘述方法即可，不需說明理由）
（4）向題解決：怎樣從正n邊形的中心引線段，才能將這個正n邊形的面積m等分？（敘述分法即可，不需說明理由）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等邊三角形面積的方法：如圖（1），在△ABC中，AB=AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點A和底邊BC各等分點的線段，即可把這個三角形的面積m等分．
問題的提出：任意給定一個正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？
探究與發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們先從簡單問題入手：怎樣從正三角形的中一心（正多邊形的各對稱軸的交點，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？
如果要把正三角形的面積四等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點（如圖（2），這些線段將這個正三角形分成了三個全等的等腰三角形）；再把所得的每個等腰三角形的底邊四等分，連接中心和各邊等分點（如圖（3），這些線段把這個正三角形分成了12個面積相等的小三角形）；最后，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起（如圖（4））．這樣就把正三角形的面積四等分．

（1）實驗與驗證：依照上述方法，利用刻度尺，在圖（5）中畫出一種將正三角形的面積五等分的簡單示意圖；
（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說明理由；
（3）拓展與延伸：怎樣從正方形的中心引線段，才能將這個正方形的面積m等分？（敘述方法即可，不需說明理由）
（4）向題解決：怎樣從正n邊形的中心引線段，才能將這個正n邊形的面積m等分？（敘述分法即可，不需說明理由）．

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