Question

在平面直角坐標系中，△AOB的位置如圖所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，點A的坐標為（-3，1）．
（1）求點B的坐標；
（2）求過A，O，B三點的拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸為直線l，P是直線l上的一點，且△PAB的面積等于△AOB的面積，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸，垂足為D，易證△ACO≌△ODB，就可以求出OD，BD的長，可以得到B點的坐標．
（2）已知A，O，B三點的坐標，利用待定系數(shù)法，就可以求出拋物線的解析式．
（3）△PAB的面積等于△AOB的面積，則P點到AB的距離等于O到AB的距離，即△AOB AB邊上的高線長．則過點O作AB的平行線，與拋物線的對稱軸的交點，以及這點關(guān)于F的對稱點就是所求的點．

解答：解：（1）作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸，垂足為D．
則∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90度．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．（1分）
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（2分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴點B的坐標為（1，3）．（4分）

（2）因拋物線過原點，
故設(shè)所求拋物線的解析式為：y=ax²+bx．
將A（-3，1），B（1，3）兩點代入得，

a+b=3 9a-3b=1

，
解得a=

5

6

；b=

13

6

．（6分）
故所求拋物線的解析式為：y=

5

6

x2+

13

6

x．（8分）

（3）設(shè)直線AB的方程為y=kx+b₁，那么有：

-3k+b1=1 k+b1=3

，
解得k=

1

2

，b1=

5

2

．
故直線AB的方程為：y=

1

2

x+

5

2

．
∴OE=

5

2

．（9分）
拋物線y=

5

6

x2+

13

6

x的對稱軸l的方程是：x=-

b

2a

=-

13

10

，

y= 1 2 x+ 5 2 x=- 13 10

，
解得

x=- 13 10 y= 37 20

．
∴F點坐標為(-

13

10

，

37

20

)．（10分）
∵l∥y軸，△PAB的面積等于△ABO的面積，
∴P點到直線AB的距離等于O點到AB的距離．
即OG=P₁H=P₂M（P點有兩種情況）．
則過原點O與AB平行的直線的解析式是y=

1

2

x．
函數(shù)y=

1

2

x與拋物線的交點坐標是即P1(-

13

10

，-

13

20

)，
而P₁關(guān)于F點的對稱點P2(-

13

10

，

87

20

)．也是滿足條件的點．

點評：本題利用了全等三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．