Question

已知：拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10與x軸交于A、B兩點，C是拋物線的頂點．
（1）用配方法求頂點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）“若AB的長為2

2

，求拋物線的解析式．”解法的部分步驟如下，補全解題過程，并簡述步驟①的解題依據(jù)，步驟②的解題方法；
由（1）知，對稱軸與x軸交于點D（______，0）
∵拋物線的對稱性及AB=2

2

，
∴AD=DB=|xA-xD|=2

2

．
∵點A（x_A，0）在拋物線y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，將|xA-xD|=

2

代入上式，得到關于m的方程0=(

2

)2+(      )②
（3）將（2）中的條件“AB的長為2

2

”改為“△ABC為等邊三角形”，用類似的方法求出此拋物線的解析式．

Answer 1

（1）∵y=x²-（2m+4）x+m²-10
=[x-（m+2）]²-4m-14，
∴頂點C的坐標為（m+2，-4m-14）．

（2）由（1）知，對稱軸與x軸交于點D（m+2，0），
∵拋物線的對稱性及AB=2

2

，
∴AD=DB=|xA-xD|=

2

．
∵點A（x_A，0）在拋物線y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，將|xA-xD|=

2

代入上式，
得到關于m的方程0=（

2

）²+（-4m-14）②
解得m=-3，
當m=-3時，拋物線y=x²+2x-1與x軸有交點，
且AB=2

2

，符合題意．
所求拋物線的解析式為y=x²+2x-1．
步驟①的解題依據(jù)：拋物線上一點的坐標滿足此函數(shù)解析式；
步驟②的解題方法：代入法

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴由（1）知CD=|-4m-14|=4m+14（-4m-14＜0），
AD=DB=

1

3

CD=

1

3

（4m+14）（-4m-14＜0），
∵點A（x_A，0）在拋物線上，
∴0=（x_A-h）²+k．
∵h=x_C=x_D，將|x_A-x_D|=

1

3

（4m+14）代入上式，
得0=

1

3

（4m+14）²-4m-14，
∵-4m-14＜0，
∴

1

3

（4m+14）-1=0，
解得m=-

11

4

，
當m=-

11

4

時，拋物線y=x²+

3

2

x-

39

16

與x軸有交點，且符合題意．
所求拋物線的解析式為y=x²+

3

2

x-

39

16

．