Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x﹣3與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，直線l與直線y＝2x﹣3交于點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如果拋物線y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)與線段BC有唯一公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，3)；(2)≤n＜或n＝3.

【解析】

(1)根據(jù)題意分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)求得拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)的坐標(biāo)；再分類討論：①當(dāng)n＞3時(shí)；②當(dāng)n＝3時(shí)；③當(dāng)0＜n＜3時(shí)，拋物線y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)與線段BC有唯一公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

解：(1)∵直線y＝2x﹣3與y軸交于點(diǎn)A(0，﹣3)，

∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B(0，3)，l為直線y＝3，

∵直線y＝2x﹣3與直線l交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，3)，

(2)∵拋物線y＝nx2﹣4nx+5n(n＞0)，

∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n(x﹣2)2+n(n＞0)

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，n)，

∵點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)C(3，3)，

①當(dāng)n＞3時(shí)，拋物線的最小值為n＞3，與線段BC無公共點(diǎn)；

②當(dāng)n＝3時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為(2，3)，在線段BC上，此時(shí)拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)；

③當(dāng)0＜n＜3時(shí)，拋物線最小值為n，與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)；

如果拋物線y＝n(x﹣2)2+n經(jīng)過點(diǎn)B，則3＝5n，解得n＝，

由拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(4，3)，

點(diǎn)(4，3)不在線段BC上，此時(shí)拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)B；

如果拋物線y＝n(x﹣2)2+n經(jīng)過點(diǎn)C，則3＝2n，解得n＝，

由拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，3)，

點(diǎn)(1，3)在線段BC上，此時(shí)拋物線與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)≤n＜或n＝3時(shí)，拋物線與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)．