Question

【題目】在矩形ABCD中，，點(diǎn)G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點(diǎn)E為AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．

（1）如圖1，當(dāng)DH=DA時(shí)，

①填空：∠HGA= 度；

②若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時(shí)a的最小值；

（2）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊FG，交邊DC于點(diǎn)P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①45；②當(dāng)∠AHE為銳角時(shí)，∠AHE=22.5°時(shí)，a的最小值是２；當(dāng)∠AHE為鈍角時(shí)，∠AHE=112.5°時(shí)，a的最小值是；（2）.

【解析】

（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADH=90°．

∵DH=DA，∴∠DAH=∠DHA=45°．∴∠HAE=45°．

∵HA=HG，∴∠HAE=∠HGA=45°

②分兩種情況討論：

第一種情況：如答圖1，∠AHE為銳角時(shí)，

∵∠HAG=∠HGA=45°，∴∠AHG=90°．

由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°．

∴∠AHF=∠AHG∠FHG=45°，即∠AHE+∠FHE=45°．

∴∠AHE=22.5°．

此時(shí)，當(dāng)B與G重合時(shí)，a的值最小，最小值是2．

第二種情況：如答圖2，∠AHE為鈍角時(shí)，

∵EF∥HG，∴∠HGA=∠FEA=45°，即∠AEH+∠FEH=45°．

由折疊可知：∠AEH=∠FEH，∴∠AEH=∠FEH=22.5°．

∵EF∥HG，∴∠GHE=∠FEH=22.5°．

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°．

此時(shí)，當(dāng)B與E重合時(shí)，a的值最小，

設(shè)DH=DA=x，則AH=CH=x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：AG=AH=2x，

∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，∴∠AEH=∠GHE．∴GH=GE=x．

∴AB=AE=2x+x．

∴a的最小值是 ．

綜上所述，當(dāng)∠AHE為銳角時(shí)，∠AHE=22.5°時(shí)，a的最小值是2；當(dāng)∠AHE為鈍角時(shí)，∠AHE=112.5°時(shí)，a的最小值是．

（2）如答圖3：過點(diǎn)H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GQH=90°，

在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，

∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°．

∴四邊形DAQH為矩形．∴AD=HQ．

設(shè)AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=60°．

在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°＝2y，

在Rt△HQE中， ，

∴．

∵HA=HG，HQ⊥AB，∴AQ=GQ=．

∴AE=AQ+QE=．

由折疊可知：AE=EF，即，即．

∴AB=2AQ+GB=．

∴．