Question

25、如圖1，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x+6與x軸交于A，與y軸交于B，BC⊥AB交x軸于C．
①求△ABC的面積．
②如圖2，D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊做等腰直角三角形BDE，連接EA．求直線EA的解析式．
③點E是y軸正半軸上一點，且∠OAE=30°，OF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段AO上一動點，是判斷是否存在這樣的點M、N，使得OM+NM的值最小，若存在，請寫出其最小值，并加以說明．

Answer 1

分析：①由已知y=x+6，可得出OA=OB=6，∠BAO=∠ABO=45°，再由BC⊥AB求出OC=OB=6，從而求得△ABC的面積．
②首先過E作EF⊥x軸于F延長EA交y軸于H，通過證三角形全等及等量代換先求出H點的坐標，有點斜式寫出直線EA的解析式．
③由已知可在線段OA上任取一點N，又由OF是平分線，再在AE作關(guān)于OF的對稱點N^′，當(dāng)點N運動時，ON^′最短為點O到直線AE的距離．由已知∠OAE=30°，得直角三角形，OA=6，所以得OM+NM=3．

解答：解：①求△ABC的面積=36；
②過E作EF⊥x軸于F，延長EA交y軸于H．
易證：△OBD≌△FDE；得：DF=BO=AO，EF=OD；
∴AF=EF，∴∠EAF=45°，∴△AOH為等腰直角三角形．
∴OA=OH，∴H（0，-6）
∴直線EA的解析式為：y=-x-6；
③在線段OA上任取一點N，易知使OM+NM的值最小的是點O到點N關(guān)于直線AF對稱點N’之間線段的長．當(dāng)點N運動時，ON’最短為點O到直線AE的距離，即點O到直線AE的垂線段的長．∠OAE=30°，OA=6，所以O(shè)M+NM的值為3．

點評：此題考查的知識點是一次函數(shù)的應(yīng)用及直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用．關(guān)鍵是通過一次函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)求解．