Question

【題目】如圖，E，F分別是正方形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且BE＝CF，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BF，交正方形外角的平分線(xiàn)CG于點(diǎn)G，連接GF．

（1）求∠AEG的度數(shù)；

（2）求證：四邊形BEGF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由SAS證明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CBF＝∠CEG，證出AE⊥EG，即可得出結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BP＝BE，連接EP，則AP＝CE，∠EBP＝90°，證明△APE≌△ECG得出AE＝EG，證出EG＝BF，即可得出結(jié)論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF(SAS)，

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∵EG∥BF，

∴∠CBF＝∠CEG，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CEG+∠BEA＝90°，

∴AE⊥EG，

∴∠AEG的度數(shù)為90°；

（2）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P，使BP＝BE，連接EP，如圖所示：

則AP＝CE，∠EBP＝90°，

∴∠P＝45°，

∵CG為正方形ABCD外角的平分線(xiàn)，

∴∠ECG＝45°，

∴∠P＝∠ECG，

由（1）得∠BAE＝∠CEG，

在△APE和△ECG中，

∴△APE≌△ECG(ASA)，

∴AE＝EG，

∵AE＝BF，

∴EG＝BF，

∵EG∥BF，

∴四邊形BEGF是平行四邊形．