【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=mx2﹣8mx+4m+2(m>0)與y軸的交點為A,與x軸的交點分別為B(x1 , 0),C(x2 , 0),且x2﹣x1=4,直線AD∥x軸,在x軸上有一動點E(t,0)過點E作平行于y軸的直線l與拋物線、直線AD的交點分別為P、Q.

(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)0<t≤8時,求△APC面積的最大值;
(3)當(dāng)t>2時,是否存在點P,使以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:由題意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的兩根,

∴x1+x2=8,

解得:

∴B(2,0)、C(6,0)

則4m﹣16m+4m+2=0,

解得:m= ,

∴該拋物線解析式為:y=


(2)

解:可求得A(0,3)

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,

∴直線AC的解析式為:y=﹣ x+3,

要構(gòu)成△APC,顯然t≠6,分兩種情況討論:

①當(dāng)0<t<6時,設(shè)直線l與AC交點為F,則:F(t,﹣ ),

∵P(t, ),∴PF= ,

∴SAPC=SAPF+SCPF

=

=

= ,

此時最大值為: ,

②當(dāng)6<t≤8時,設(shè)直線l與AC交點為M,則:M(t,﹣ ),

∵P(t, ),∴PM= ,

∴SAPC=SAPM﹣SCPM=

=

=

當(dāng)t=8時,取最大值,最大值為:12,

綜上可知,當(dāng)0<t≤8時,△APC面積的最大值為12


(3)

解:方法一:

如圖,連接AB,則△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=2,

Q(t,3),P(t, ),

① 當(dāng)2<t<8時,AQ=t,PQ=

若:△AOB∽△AQP,則:

即: ,

∴t=0(舍),或t=

若△AOB∽△PQA,則: ,

即:

∴t=0(舍)或t=2(舍),

②當(dāng)t>8時,AQ′=t,PQ′=

若:△AOB∽△AQP,則: ,

即:

∴t=0(舍),或t=

若△AOB∽△PQA,則:

即: ,

∴t=0(舍)或t=14,

∴t= 或t= 或t=14.

方法二:

若以A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似,

,

設(shè)P(t, )(t>2)

∴Q(t,3)

② | |= ,∴| |= ,∴t1=2(舍),t2=14,

②| |= ,∴| |= ,∴t1= ,t2= ,

綜上所述:存在:t1= ,t2= ,t3=14.


【解析】(1)認(rèn)真審題,直接根據(jù)題意列出方程組,求出B,C兩點的坐標(biāo),進(jìn)而可求出拋物線的解析式;(2)分0<t<6時和6<t≤8時兩種情況進(jìn)行討論,據(jù)此即可求出三角形的最大值;(3)以點D為分界點,分2<t≤8時和t>8時兩種情況進(jìn)行討論,再根據(jù)三角形相似的條件,即可得解.

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如圖1,若,則

的度數(shù)是______;

當(dāng)時,______;當(dāng)時,______.

如圖2,若,則是否存在這樣的x的值,使得中有兩個相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,說明理由.

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的度數(shù)是______;

當(dāng)時,______;當(dāng)時,______.

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______;

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