Question

4．如圖，已知⊙O中，AB是直徑，PA和PC分別與⊙O相切于A，C兩點(diǎn)，連結(jié)OP，CB
（1）求證：OP∥CB；
（2）延長(zhǎng)PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若PC=12，sin∠POA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）只要證明OP⊥AC，BC⊥AC即可．
（2）由BC∥PO，得$\frac{DC}{DP}$=$\frac{BC}{PO}$，求出BC、PO即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖連接AC、OC，
∵PA和PC分別與⊙O相切于A，C兩點(diǎn)，
∴PA=PC，∵OA=OC，
∴OP垂直平分AC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PO∥BC．

（2）解：在RT△POA中，∵PA=PC=12，sin∠POA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴OA=24，OP=12$\sqrt{5}$，
∴AB=48，
在RT△ABC中，∵sin∠POA=sin∠CBA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AB=48，
∴AC=$\frac{96\sqrt{5}}{5}$，BC=$\frac{48\sqrt{5}}{5}$，
∵BC∥PO，
∴$\frac{DC}{DP}$=$\frac{BC}{PO}$，
∴$\frac{DC}{DC+12}$=$\frac{\frac{48\sqrt{5}}{5}}{12\sqrt{5}}$，
∴DC=48，
∴PD=60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、垂直平分線的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．