Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠B=90°，∠C=60°，AD=CD，點E在射線BC上，將△ABE沿AE翻折，點B落到點F處，射線EF與射線CD交于點M．
（1）當(dāng)點M在CD邊上時（如圖a），求證：FM一DM=

3

3

AB
（2）當(dāng)點E在BC邊的延長線上時（如圖b），線段FM、DM、AB的數(shù)量關(guān)系

DM-FM=

3

3

AB

（3）在（2）的條件下，過A點作AG⊥CM，垂足為點G，設(shè)直線BG與直線AM交于點N，若AD=6，F(xiàn)M=1，求GN的長

Answer 1

分析：（1）利用過點A作AG⊥CD，交CD的延長線于點G，連接AG，AM，進(jìn)而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（2）首先連接AM，AC，作AG⊥MC于點G，進(jìn)而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（3）首先利用勾股定理得出BE與CE的長，進(jìn)而利用利用相似三角形的判定得出△AGN∽△ACE，即可得出GN的長．

解答：解：（1）過點A作AG⊥CD，交CD的延長線于點G，連接AG，AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴FM-DM=

3

3

AB；

（2）連接AM，AC，作AG⊥MC于點G，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AB⊥BC，AG⊥MC，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM-DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴DM-FM=

3

3

AB，
故答案為：DM-FM=

3

3

AB；

（3）連接AC，過點M作MH⊥BC于H，過點D作DK⊥BC于K，
∵AD=6，F(xiàn)M=1，
∴KC=3，DK=3

3

，AB=3

3

，BC=9，
又∵（2）知：DM-FM=

3

3

AB，
∴DM=

3

3

×3

3

+1=4，
∴MC=10，HC=5，MH=5

3

，BH=4，
設(shè)BE=x，則FE=x，ME=x-1，HE=x-4，
∵M(jìn)H²+HE²=ME²，
∴（5

3

）²+（x-4）²=（x-1）²，
  解得：x=15，
∴BE=15，CE=6，
∵∠BCG=60°，
∴∠ECG=120°，
由（1）知Rt△AMG≌Rt△AMF，∠BCA=∠ACG=30°，
∴∠MAG=∠MAF，設(shè)∠BAE=m°，∠FAM=n°，則∠BAF=m°，∠GAF=2n°，
∴2m-2n=120°，m-n=60°，
∴∠EAM=60°，
又∵∠CAG=60°，
∴∠GAN=∠CAE，
∵∠AGN=∠ACE=150°，
∴△AGN∽△ACE，
∵AG=

1

2

AC，
∴

GN

CE

=

AG

AC

=

1

2

，
∴GN=

1

2

CE=3．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出全等三角形與相似三角形是解題關(guān)鍵．