Question

23、如果給你一副帶有刻度的三角板，請(qǐng)你畫出∠AOB的平分線．下面三位同學(xué)是這樣設(shè)計(jì)的，
（1） 小亮是這樣做的：
①分別在OA，OB上量取OM=ON，連接MN．
②取MN的中點(diǎn)P．
③作射線OP
那么OP是∠AOB的平分線


（2）小明是這樣做的：
①分別在OA，OB上量取OM=ON，MR=NS
②連接MS，NR交于P
③作射線OP
那么OP是∠AOB的平分線．那么OP是∠AOB的平分線．                                      

（1）以上2位同學(xué)的設(shè)計(jì)你認(rèn)為正確嗎？若正確，請(qǐng)對(duì)正確做法加以證明，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．
（2）請(qǐng)你根據(jù)以上信息，創(chuàng)造新的證明角平分線的做法，在備用圖上畫出圖形，并證明其可行性．

Answer 1

分析：（1）小亮根據(jù)全等三角形的判定定理SSS即可證出答案；小明根據(jù)全等三角形的判定SAS得到△ONR≌△OMS，推出∠OSM=∠ORN，即可證出△NSP≌△MPR和△ONP≌△OMP，能推出∠MOP=∠POA，即可得到答案．
（2）由作法可知MO=MP和MP∥OA，可推出∠MOP=∠MPO=∠POA，即可得到答案．

解答：解：（1）都正確．
小亮的證明過程；
∵ON=OM，NP=PM，OP=OP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
∴∠NOP=∠MOP，
即：OP是∠AOB的平分線．

小明的證明過程：
∵ON=OM，NS=SM
∴OS=OR
∵∠MON=∠MON
∴△ONR≌△OMS（SAS）
∠OSM=∠ORN
∴△NSP≌△MPR（AAS）
∴NP=MP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
∴∠NOP=∠MOP，
即：OP是∠AOB的平分線．

（2）解：可以這樣做：
①在OB上任取一點(diǎn)M
②過M作MN∥OA，在MN上量取MP=OM
③作射線OP
則OP是∠AOB的平分線．
證明：
∵M(jìn)O=MP，
∴∠MON=∠MPN，
∵M(jìn)P∥OA
∴∠MPO=∠POA，
∴∠MOP=∠POA，
即OP是∠AOB的平分線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，作圖與基本作圖，平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明和作圖．