【題目】將一個(gè)直角三角形紙片ABO,放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)O(0,0).點(diǎn)M為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)O、A重合),沿著BM折疊該紙片,得頂點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′.

(I)如圖,當(dāng)點(diǎn)O′在邊AB上時(shí),求點(diǎn)O′的坐標(biāo);

(II)設(shè)直線BO′與x軸相交于點(diǎn)F.

如圖,當(dāng)BA平分MBF時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);

當(dāng)OM=時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)

【答案】(Ⅰ)O'(,2﹣);(Ⅱ)①F(2,0);②F(,0)

【解析】

(I) 過點(diǎn)O'作O'Hy軸于H,由折疊可知,BO'=BO=2,∠BO'H=∠BAO=45°,利用特殊角的三角函數(shù)值求出BH、O'H,從而得到O'的坐標(biāo);

(II) ①BA平分∠MBF時(shí)得到∠OBF=60,利用特殊角的三角函數(shù)值求出OF,即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo);先說明△FO'M∽△FOB,從而=設(shè)F(a,0),利用勾股定理,用含a式子表示O'F,代入=,求出a,從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo).

:(I)如圖,過點(diǎn)O'作O'Hy軸于H,


由折疊知,△BMO≌△BMO',

∴BO'=BO=2,

∵O'H∥OA,

∴∠BO'H=∠BAO=45°,

在RtBO'H中,O'H=BO'cos∠BO'H=,

∴BH=O'H=,

∴OH=OB﹣BH=2﹣,

∴O'(,2﹣);

(II)①∵BA平分∠MBF,

∴∠ABO=3∠MBA=45°,

∴∠ABF=∠MBA=15°,

∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°,

在RtBOF中,OF=OBtan60=2,

∴F(2,0);

由折疊知,O'M=OM=,O'B=OB=2,∠MO'F=90°=∠FOB,

∵∠FO'M=∠FOB,

∴△FO'M∽△FOB,

=

設(shè)F(a,0)(a>0),

∴OF=a,

在RtBOF中,BF=,

∴O'F=﹣2,

a=0(舍)或a=,

F(,0).

故答案為:(I)O'(,2﹣);(II)①F(2,0);②F(,0)

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【題目】綜合與探究

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[探究發(fā)現(xiàn)]

1)如圖2,某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),很容易就可以得到請(qǐng)寫出證明過程;

[數(shù)學(xué)思考]

2)如圖3,若點(diǎn)上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),(1)的啟發(fā),另一個(gè)學(xué)習(xí)小組過點(diǎn),于點(diǎn),就可以證明,請(qǐng)完成證明過程;

[拓展引申]

3)若點(diǎn)延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn),在圖(4)中補(bǔ)充完整圖形,并判斷結(jié)論是否仍然成立.

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1的有理化因式是 ;

2)這樣,化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí),采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了,例如:

用上述方法對(duì)進(jìn)行分母有理化.

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