Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：（1）如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上的一點，連接BD、BE，將∠DBE繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G．

①線段BE和BF的數(shù)量關系是　 　；

②寫出線段DE、DF和BD之間的數(shù)量關系，并說明理由；

操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點E是菱形ABCD邊CD所在直線上的一點，連接BD、BE，將∠DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線DA交于點F和點G．

①如圖2，點E在線段DC上時，請?zhí)骄烤�段DE、DF和BD之間的數(shù)量關系，寫出結(jié)論并給出證明．

②如圖3，點E在線段CD的延長線上時，BE交射線DA于點M，若DE＝DC＝2a，直接寫出線段FM和AG的長度．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝BF，見解析；②DF+DE＝BD，理由見解析；（2）①DF+DE＝BD，理由見解析；②FM＝7a，AG＝4a．

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可；
②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
②根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

（1）①∵∠DBE繞點B順針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（1）

由旋轉(zhuǎn)可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴BE＝BF；

故答案為：BE＝BF

②DF+DE＝BD，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴DE＝GF，

∴DF+DE＝DG，

∵DG＝BD，

即DE+DF＝BD；

（2）①DF+DE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，

由旋轉(zhuǎn)120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠BDG＝∠G＝30°，

∴BD＝BG，

∴△EBD≌△FBG（ASA），

∴DE＝FG，

∴DE+DF＝DF+FG＝DG，

過點B作BM⊥DG于點M，如圖（2）

∵BD＝BG，

∴DG＝2DM，

在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，

∴BD＝2BM．

設BM＝a，則BD＝2a，

，

∴DG＝2a，

，

∴DF+DE＝BD，

②過點B作BM⊥DG，BN⊥DC，如圖（3）

∵DE＝DC＝2a，

由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．