Question

如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，2)，B(2，0)直線AB與反比例函數(shù)的圖像交與點(diǎn)C和點(diǎn)D（－1，）．

(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；
(2)求∠ACO的度數(shù)；
(3)將△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′，當(dāng)α為多少度時(shí)OC′⊥AB，并求此時(shí)線段AB′的長(zhǎng)．

Answer 1

（1），（2） （3）當(dāng)α為60度時(shí)OC′⊥AB，此時(shí)線段AB′的長(zhǎng)為2

試題分析：(1)設(shè)直線AB的解析式為，
將A(0，2)，B(2，0)代入解析式中，得
，解得。
∴直線AB的解析式為。

將D（－1，）代入得，。
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（－1，）。
將D（－1，）代入中得，。
∴反比例函數(shù)的解析式為。
(2)解方程組得，。
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，），
過點(diǎn)C作CM⊥軸于點(diǎn)M，則在Rt△OMC中，
，，∴，∴。
在Rt△AOB中，=，∴。
∴∠ACO=。
(3)如圖，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°。
∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°。
∵∠OAB=90°－∠ABO=30°，∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′= OB′=2．
答：當(dāng)α為60度時(shí)OC′⊥AB，此時(shí)線段AB′的長(zhǎng)為2。
點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)解析式、三角函數(shù)，要求考生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握三角函數(shù)的定義，會(huì)用三角函數(shù)解題