精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
已知 關于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0.
(1)求證:無論k取什么實數值,該方程總有兩個不相等的實數根;
(2)當Rt△ABC的斜邊長a=
31
,且兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根時,求△ABC的周長.
分析:(1)根據△>0即可證明無論k取什么實數值,該方程總有兩個不相等的實數根;
(2)根據勾股定理及根與系數的關系列出關于b,c的方程,解出b,c即可得出答案.
解答:解:(1)關于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0,
△=(2k+1)2-4(4k-3)=4k2-12k+13=4(k-
3
2
)
2
+4>0恒成立,
故無論k取什么實數值,該方程總有兩個不相等的實數根;

(2)根據勾股定理得:b2+c2=a2=31①
因為兩條直角邊b和c恰好是這個方程的兩個根,
則b+c=2k+1②,bc=4k-3③,
因為(b+c)2-2bc=b2+c2=31,
即(2k+1)2-2(4k-3)=31,
整理得:4k2+4k+1-8k+6-31=0,即k2-k-6=0,
解得:k1=3,k2=-2(舍去),
則b+c=2k+1=7,
又因為a=
31
,
則△ABC的周長=a+b+c=
31
+7.
點評:本題考查了根與系數的關系和根的判別式及勾股定理,難度較大,關鍵是巧妙運用△>0恒成立證明(1),再根據勾股定理和根與系數的關系列出方程組進行解答.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知關于x的一元二次x2+(2k-3)x+k2=0的兩個實數根x1,x2且x1+x2=x1x2,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

已知關于x的一元二次2x2-(2m2-1)x-m-4=0有一個實數根為
32

(1)求m的值;
(2)求已知方程所有不同的可能根的平方和.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

已知關于x的一元二次x2-6x+k+1=0的兩個實數根x1,x2,
1
x1
+
1
x2
=1
,則k的值是( 。
A、8B、-7C、6D、5

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

先閱讀下面文字:
一般的,對于關于x的一元二次方程x2+px+q=0(p,g為常數,P2-4q≥O)的兩根為x1=
-p+
p2-4q
2
、x2=
-p-
p2-4q
2
,則x1+x2=-p,x1×x2=q.
用這個結論可以解決有關問題,例如:已知關于x的一元二方程x2+3x+1=0的兩根為x1、x2,求
x
2
1
+
x
2
2
的值.
解:∵x1、x2是方程x2+3x+1=0的兩根,∴x1+x2=-3,x1×x2=1,∴
x
2
1
+
x
2
2
=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×1=7

請解決下面的問題:
(1)已知一元二次方程x2-3x-7=0的兩個根為x1、x2,則x1+x2的值為
3
3

A、-3    B、3    C、-7D、7
(2)已知x1、x2是方程x2-2x-1=0的兩根,試求(x1-2)(x2-2)的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源:2011年中考數學復習模擬試卷(07)(解析版) 題型:解答題

(2002•浙江)已知關于x的一元二次x2+(2k-3)x+k2=0的兩個實數根x1,x2且x1+x2=x1x2,求k的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案