Question

【題目】（1）如圖1，E是正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，連接BD、DE，將∠BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

①線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是　 　；

②寫出線段BE，BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系．

（2）當(dāng)四邊形ABCD為菱形，∠ADC＝60°，點(diǎn)E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點(diǎn)，連接BD、DE，將∠BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

①如圖2，點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤�段BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；

②如圖3，點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE交射線BC于點(diǎn)M，若BE＝1，AB＝2，直接寫出線段GM的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①DB＝DG；②BF+BE＝BD；（2）①BF+BE＝BD，見解析；②

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

②作輔助線，計(jì)算BD和BF的長(zhǎng)，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得BM的長(zhǎng)，根據(jù)線段的差可得結(jié)論．

解：（1）①DB＝DG，理由是：

∵∠DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖1，

由旋轉(zhuǎn)可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBD＝45°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠CBD＝45°，

∴DB＝DG；

故答案為：DB＝DG；

②BF+BE＝BD，理由如下：

由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴BE＝FG，

∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，

∴CD＝CG＝CB，

∵DG＝BD＝BC，

即BF+BE＝2BC＝BD；

（2）①如圖2，BF+BE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，

由旋轉(zhuǎn)120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠DBG＝∠G＝30°，

∴DB＝DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE＝FG，

∴BF+BE＝BF+FG＝BG，

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BG于點(diǎn)M，如圖2，

∵BD＝DG，

∴BG＝2BM，

在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，

∴BD＝2DM．

設(shè)DM＝a，則BD＝2a，

BM＝a，

∴BG＝2a，

∴.

∴BG＝BD，

∴BF+BE＝BG＝BD；

②過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BD于N，過(guò)D作DP⊥BG于P，如圖3，

Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，

∴AN＝1，BN＝，

∴BD＝2BN＝2，

∵DC∥BE，

∴

∵CM+BM＝2，

∴BM＝，

Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，

∴BP＝3，

由旋轉(zhuǎn)得：BD＝BF，

∴BF＝2BP＝6，

∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．