Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為A（

3

，0），矩形BCOG的頂點(diǎn)B、C坐標(biāo)為B(4

3

，3)，C（0，3），連接AB．動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，連接AD、DE、EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用t的代數(shù)式表示線段BE、DF的長．
（2）求證四邊形ADFE為平行四邊形，并探索在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在t使四邊形ADFE為菱形？若存在，請求出t的值，若不存在請說明理由．
（3）探索當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF與以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)四邊形BCOG是矩形，A（

3

，0），B（4

3

，2）求出AG、BG及AB的長，由平行線的性質(zhì)求出∠CFD=∠CBA=30°，再由直角三角形的性質(zhì)得出DF的長，再由動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)即可求出BE的長；
（2）先由DF∥AB，DF=AE=2t，可得出四邊形ADEF是平行四邊形，若平行四邊形ADEF是菱形，則DF=AD，在Rt△AOD中，利用勾股定理可得出AD²=OD²+OA²，進(jìn)而可得出t的值；
（3）由DF∥AB，可得出∠BEF=∠DFE，由于兩相似三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠BFE=∠DEF時(shí)，則△BEF∽△DFE，此時(shí)DE∥BC，即四邊形DEBF是平行四邊形，DF=BE，由此可得出t的值；
②當(dāng)∠BFE=∠FDE時(shí)，則△BEF∽△EFD，由相似三角形的性質(zhì)可得

BE

EF

=

EF

DF

，即EF²=DF×BE，由四邊形ADFE是平行四邊形，即EF=AD，在△AOD中利用勾股定理即可求出t的值．

解答：（1）解：∵四邊形BCOG是矩形，A（

3

，0），B（4

3

，3），
∴AG=4

3

-

3

=3

3

，BG=3，
∴AB=

AG2+BG2

=

(3 3 )2+32

=6，
∴∠BAG=30°，
∵BC∥OG，
∴∠CBA=∠BAG=30°，
∵DF∥AB，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
∵△CDF是直角三角形，
∴DF=2CD=2t，
∵動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，
∴AE=2t，
∴BE=6-2t；

（2）證明：∵DF∥AB，DF=AE=2t，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
若平行四邊形ADEF是菱形，則DF=AD，
在Rt△AOD中，AD²=OD²+OA²，即（2t）²=（3-t）²+（

3

）²，
解得t=±

5

-1（負(fù)值舍去），
∴t=

5

-1；

（3）解：∵DF∥AB，
∴∠BEF=∠DFE．
分兩種情況：
①當(dāng)∠BFE=∠DEF時(shí)，則△BEF∽△DFE，此時(shí)DE∥BC，即四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DF=BE，而DF=2t，BE=6-2t，
∴2t=6-2t，解得t=

3

2

；
②當(dāng)∠BFE=∠FDE時(shí)，則△BEF∽△EFD，
∴

BE

EF

=

EF

DF

，即EF²=DF×BE，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，即EF=AD，
∴AD²=OD²+OA²，
∴（3-t）²+（

3

）²=2t×（6-2t），解得t=

9± 21

5

綜上所述，t=

3

2

或t=

9± 21

5

．

點(diǎn)評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，在解答（3）時(shí)要注意分類討論，不要漏解．