Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，P、Q是反比例函數(shù)y=

a2+1

x

（x＞0）圖象上的兩點，過點P、Q分別作直線且與x、y軸分別交于點A、B和點M、N．已知點P為線段AB的中點．
（1）求△AOB的面積（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點Q為線段MN的中點時，小菲同學(xué)連接AN，MB后發(fā)現(xiàn)此時直線AN與直線MB平行，問小菲同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）過點P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，由P為線段AB的中點，可知PP₁，PP₂是△AOB的中位線，故OA=2PP₂，OB=2PP₁，再由點P是反比例函數(shù)y=

a2+1

x

（x＞0）圖象上的點，可知S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2PP₂×2PP₁=2PP₂×PP₁=2a²+2；
（2）由點Q為線段MN的中點，可知同（1）可得S_△MON=S_△AOB=2a²+2，故可得出OA•OB=OM•ON，即

OA

OM

=

ON

OB

，由相似三角形的判定定理可知△AON∽△MOB，故∠OAN=∠OMB，由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）過點P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，
∵P為線段AB的中點，
∴PP₁，PP₂是△AOB的中位線，
∴OA=2PP₂，OB=2PP₁，
∵點P是反比例函數(shù)y=

a2+1

x

（x＞0）圖象上的點，
∴S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2PP₂×2PP₁=2PP₂×PP₁=2a²+2；


（2）結(jié)論正確．
理由：∵點Q為線段MN的中點，
∴同（1）可得S_△MON=S_△AOB=2a²+2，
∴OA•OB=OM•ON，
∴

OA

OM

=

ON

OB

，
∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB，
∴AN∥MB．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及三角形的中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形的中位線是解答此題的關(guān)鍵．