Question

（2012•赤峰）如圖，拋物線y=x²-bx-5與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AF交y軸于點(diǎn)E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AF的解析式；
（3）在直線AF上是否存在點(diǎn)P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線解析式求出OC的長度，再根據(jù)比例求出OA的長度，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算求出b，即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)C、F關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱可得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x₀，-5），代入拋物線求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式求解即可；
（3）分①點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，△CFP是直角三角形，②CF是斜邊時(shí)，過C作CP⊥AF于點(diǎn)P，然后根據(jù)點(diǎn)C、E、F的坐標(biāo)求出PC=PF，從而求出點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求解即可．

解答：解：（1）∵y=x²-bx-5，
∴|OC|=5，
∵|OC|：|OA|=5：1，
∴|OA|=1，
即A（-1，0），…（2分）
把A（-1，0）代入y=x²-bx-5得
（-1）²+b-5=0，
解得b=4，
拋物線的解析式為y=x²-4x-5；…（4分）

（2）∵點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，C（0，-5），設(shè)F（x₀，-5），
∴x₀²-4x₀-5=-5，
解得x₀=0（舍去），或x₀=4，
∴F（4，-5），…（6分）
∴對(duì)稱軸為x=2，
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，
把F（4，-5），A（-1，0），代入y=kx+b，
得

4k+b=-5 -k+b=0

，
解得

k=-1 b=-1

，
所以，直線FA的解析式為y=-x-1；…（8分）

（3）存在．…（9分）
理由如下：①當(dāng)∠FCP=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，
∵點(diǎn)E是直線y=-x-1與y軸的交點(diǎn)，
∴E（0，-1），
∴P（0，-1），…（10分）
②當(dāng)CF是斜邊時(shí)，過點(diǎn)C作CP⊥AF于點(diǎn)P（x₁，-x₁-1），
∵∠ECF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F(xiàn)（4，-5），
∴CE=CF，
∴EP=PF，
∴CP=PF，
∴點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，…（11分）
∴x₁=2，
把x₁=2代入y=-x-1，得
y=-3，
∴P（2，-3），
綜上所述，直線AF上存在點(diǎn)P（0，-1）或（2，-3）使△CFP是直角三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，以及到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上的性質(zhì)，（3）中要注意分CF是直角邊與斜邊兩種情況討論求解．