Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過B點，且頂點在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．

解答：解：（1）由題意，可設所求拋物線對應的函數(shù)關系式為y=

2

3

（x-

5

2

）²+m，
∵點B（0，4）在此拋物線上，
∴4=

2

3

×（0-

5

2

）²+m，
∴m=-

1

6

，
∴所求函數(shù)關系式為：y=

2

3

（x-

5

2

）²-

1

6

=

2

3

x²-

10

3

x+4；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），
當x=5時，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
當x=2時，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴點C和點D在所求拋物線上．

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的性質以及勾股定理的應用，題目的綜合性很強，但難度不大．