Question

【題目】某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動，愛思考的小實(shí)同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，、是的中線，于點(diǎn)，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

（特例探究）

（1）如圖1，當(dāng)，時，_____，______；

如圖2，當(dāng)，時，_____，______；

（歸納證明）

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想、、三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論；

（拓展證明）

（3）如圖4，在中，，，、、分別是邊、的中點(diǎn)，連結(jié)并延長至，使得，連結(jié)，當(dāng)于點(diǎn)時，求的長．

Answer 1

【答案】（1），，，；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

(1)由三角函數(shù)的性質(zhì)得到 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF//AB． ,由平行線分線段成比例可得，可求得PE、PE的長，再由勾股定理得到結(jié)果;由三角函數(shù)的性質(zhì)得到 根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF//AB． ，由平行線分線段成比例可得，可求得PE、PE的長再由勾股定理得到結(jié)果;

(2) 設(shè)，，則，，利用勾股定理用x、y、z分別表示出：、、，再用x、y、z分別表示出，，由 即可得出答案；

（3）連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可得四邊形是平行四邊形，可得是中垂三角形，即可知：，代入（2）中結(jié)論可求得

(1)解:如圖，連接EF

∵，，

∴

∵、是的中線，是交點(diǎn)

∴

∴

∴

∵

∴由勾股定理可得：

∴

如圖連接EF

∵，，

∴，

∵、是的中線，是交點(diǎn)

∴

∴

∴，

∵

∴由勾股定理可得：，

∴，

故答案為：，，，．

（2）,理由如下：

設(shè)，，則，

∵

∴

∴，

∴

即

（3）連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵，

∴

∵是的中點(diǎn)

∴是的中點(diǎn)

∵，是，的中點(diǎn)

∴，

∵

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∴是的中點(diǎn)

∴是中垂三角形

∵，，

∴，

有（2）中結(jié)論可知：

∴