Question

如圖，點(diǎn)P是半徑為6的⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的割線PAB，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，且PC²=PA•PB．求證：
（1）PC是⊙O的切線；
（2）若sin∠ACB=

5

3

，求弦AB的長；
（3）已知在（2）的條件下，點(diǎn)D是劣弧AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于E，若AC：BC=1：3，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）連接CO并延長交⊙O于M，連接AM，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似得到△PAC∽△PCB，從而得到∠PCA=∠B，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得到CM⊥PC即PC是⊙O的切線；
（2）連接AO，并延長AO交⊙O于N，連接BN，根據(jù)同弧所對(duì)角相等得到∠N=∠ACB，已知AN的長及sin∠ACB的值，根據(jù)三角函數(shù)公式即可求得AB的長；
（3）連接OD交AB于F，由已知可推出△PCA∽△PBC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的相似比相等可求得PA，PC的長，再根據(jù)勾股定理求得OF的長，那么再求CE的長就不難了．

解答：（1）證明：連接CO并延長交⊙O于M，連接AM，
∵PC²=PA•PB，
∴

PC

PA

=

PB

PC

．
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，∠PCA=∠B．
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠PCA．
∵CM是直徑，
∴∠MAC=90°．
∴∠ACM+∠M=90°．
∴∠ACM+∠PCA=90°．
即∠PCM=90°．
∴CM⊥PC．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：連接AO，并延長AO交⊙O于N，連接BN，
∵AN是直徑，
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB，AN=12．
在Rt△ABN中，AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×

5

3

=4

5

．

（3）解：連接OD交AB于F，
∴OD⊥AB．
∵D是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠ACD=∠BCD．
∵∠PCA=∠B，
∴∠PCE=∠PEC．
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA．
∵PC²=PA•PB，
∴9PA²=PA•PB．
∴9PA=PB=PA+AB．
∴8PA=AB=4

5

．
∴PA=

5

2

．
∴PC=PE=

3 5

2

．
AE=

5

，AB=4

5

，AF=2

5

，EF=

5

在Rt△OAF中，可求得OF=4，
∴DF=OD-OF=6-4=2，
∴DE=3．
∵AE•EB=DE•CE，
∴CE=5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)切線的判定，解直角三角形及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．