Question

【題目】某校積極推行“互動(dòng)生成的學(xué)本課堂”卓有成效，“小組合作學(xué)習(xí)”深入人心，九年級某學(xué)習(xí)小組在操作實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的問題：將直尺和三角板（三角板足夠大）按如圖所示的方式擺放在平面直角坐標(biāo)系中，直尺的左側(cè)邊CD在直線x＝4上，在保證直角三角板其中一條直角邊始終過點(diǎn)A（0，4），同時(shí)使得直角頂點(diǎn)E在CD上滑動(dòng)，三角板的另一直角邊與x軸交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)C（4，5）滑動(dòng)到點(diǎn)D（4，0）的過程中，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，分點(diǎn)E在點(diǎn)F上方和點(diǎn)F下方兩種情況討論，通過相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．

解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，則AF=4，CF=1，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，三角板與x軸交于點(diǎn)B'，

∵∠ACB'=90°，AF⊥CD，

∴∠ACF+∠B'CD=90°，∠CAF+∠ACF=90°，

∴∠CAF=∠B'CD，且∠AFC=∠B'DC=90°，

∴△ACF∽△CB'D，

∴，

∴，

∴B'D=，

∴點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)F，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑為，

當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)F到點(diǎn)D時(shí)，∵∠AEF+∠BED=90°，∠AEF+∠EAF=90°，

∴∠BED=∠EAF，

又∵∠AFE=∠EDB=90°，

∴△AEF∽△EBD，

∴，

∴

∴BD=，

∴當(dāng)EF=2時(shí)，BD有最大值為1，

∴點(diǎn)E從點(diǎn)F到點(diǎn)D，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑為2，

∴點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長=2+=，

故答案為：．