Question

我市某地為了貫徹落實(shí)“森林重慶”，深入開展“綠化長(zhǎng)江---重慶行動(dòng)”．現(xiàn)決定對(duì)該地區(qū)培育種植樹苗的農(nóng)民實(shí)行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每種植一畝樹苗一次性補(bǔ)貼農(nóng)民若干元，隨著補(bǔ)貼數(shù)額的不斷增大，生產(chǎn)規(guī)模也不斷增加，但每畝樹苗的收益會(huì)相應(yīng)降低．經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)y（畝）、每畝樹苗的收益z（元）與補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間的一次函數(shù)關(guān)系如下表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（畝）	800	1600	2400	3200	…
z（元）	3000	2700	2400	2100	…

（1）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后種植畝數(shù)y、每畝樹苗的收益z與政府補(bǔ)貼數(shù)額x之間的函數(shù)關(guān)系式：
（2）要使該地區(qū)種植樹苗的總收益w（元）最大，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額x定為多少？并求出總收益w的最大值和此時(shí)種植的畝數(shù)；（總收益=種植畝數(shù)×每畝樹苗的收益）
（3）在取得最大收益的情況下，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，培育種植水果類樹苗經(jīng)濟(jì)效益更好．今年該地區(qū)決定用種植樹苗總面積m%的土地種植水果類樹苗，因環(huán)境和經(jīng)濟(jì)等因素的制約，種植水果類樹苗的面積不超過(guò)300畝．經(jīng)測(cè)算，種植水果類樹苗需用的支架、塑料膜等材料每畝費(fèi)用為2700元，此外還需購(gòu)置噴灌設(shè)備，這項(xiàng)費(fèi)用（元）與種植水果類樹苗面積（畝）的平方成正比例，比例系數(shù)9．預(yù)計(jì)今年種植水果類樹苗后的這部分土地的收益比沒(méi)種前的收益每畝增加了7500元，這樣，該地區(qū)今年因種植水果類樹苗而增加的收益（扣除材料費(fèi)和設(shè)備費(fèi)后）共570000元，求m的值．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：，）．

Answer 1

解：（1）由表格知，y與x，z與x均成一次函數(shù)關(guān)系．
設(shè)y=kx+a，將（0，800）、（100，1600）代入：
，
解得，
∴y=8x+800；
設(shè)z=k₁x+b，
將（0，3000）、（100，2700）代入：
，
解得．
∴z=-3x+3000；

（2）w=yz=（8x+800）（-3x+3000）=-24（x-450）²+7260000，
∴當(dāng)x=450時(shí)w取得最大值7260000，y=8×450+800=4400，
答：政府每畝補(bǔ)貼450元可獲得最大總收益7260000元，此時(shí)種植4400畝；

（3）∵今年該地區(qū)決定用種植樹苗總面積m%的土地種植水果類樹苗，
∴種植水果類樹苗的畝數(shù)為4400m%，
由題意得方程：7500×4400×m%-2700×4400×m%-9×（4400×m%）²=570000，
整理得出：363m²-4400m+11875=0，
解得m₁=≈8，m₂=≈4，
∴4400×m%=4400×8%≈352畝（不合題意舍去），
4400×m%=4400×4%≈176畝
∴m≈4．
答：m的值為4．
分析：（1）結(jié)合表格設(shè)函數(shù)解析式，把已知坐標(biāo)代入解析式求解即可；
（2）由1可知函數(shù)解析式，用配方法解出二次函數(shù)的最大值即可；
（3）表示出種植水果類樹苗的畝數(shù)為4400m%，列方程解出m值，進(jìn)而得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及一元二次方程的應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找出等式方程．