【題目】如圖,∠MON=120°,△ABC是等邊三角形,O點(diǎn)是邊BC的中點(diǎn),將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,OM與邊AB相交于點(diǎn)D,ON與邊AC(或AC的延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)E.
(1)如圖1,若OD⊥AB,垂足為D,BC=4,求CE的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)ON與AC邊交于點(diǎn)E時(shí),求證:BD+CE=BC;
(3)如圖3,當(dāng)ON與AC邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí),(2)中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)直接寫出線段BD、BC、CE之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)1(2)見解析(3)不成立
【解析】【試題分析】(1)如圖1,△ABC是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得:∠B=∠C=60°,
因?yàn)辄c(diǎn)O是線段BC的中點(diǎn),
根據(jù)中點(diǎn)的定義得:BO=OC=BC=2.
因?yàn)?/span>OD⊥AB,得∠ODB=∠ODA=90°,
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得:∠BOD=180°﹣60°﹣90°=30°,
在Rt△OBD中,BD=OB=×2=1;
又∠OEA=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°,
即∠OEC=90°,
根據(jù)AAS得:△OBD≌△OCE,
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得:CE=BD=1;
(2)轉(zhuǎn)化為(1),利用相同的思路證明即可;
(3)(2)中的結(jié)論不成立,線段BD、BC、CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD﹣CE=BC.
理由: 由(1)知△OBP≌△OCQ,
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得:BP=CQ,OP=OQ.
因?yàn)椤?/span>A=60°,利用四邊形的內(nèi)角和得:∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.
因?yàn)椤?/span>DOE=120°,利用等式的 性質(zhì)得:∠POD=∠QOE.
根據(jù)ASA得:△POD≌△QOE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得:PD=EQ.在Rt△BOP中,∠B=60°,根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得:BP=OB=BC
得證:BD﹣CE=BP+PD﹣CE=CQ+EQ﹣CE=CQ+CQ+CE﹣CE=2CQ=2BP=2×BC=BC.
【試題解析】
(1)如圖1,∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵點(diǎn)O是線段BC的中點(diǎn),
∴BO=OC=BC=2.
∵OD⊥AB,得∠ODB=∠ODA=90°,
∴∠BOD=180°﹣60°﹣90°=30°,
在Rt△OBD中,BD=OB=×2=1;
又∠OEA=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°,
∴∠OEC=90°,
∴△OBD≌△OCE,
∴CE=BD=1;
(2)過點(diǎn)O作OP⊥AB于P,作OQ⊥AC于Q,如圖2,
則有∠OPD=∠OQE=90°.
同(1)的方法得,△OBP≌△OCQ,
∴OP=OQ.
∵∠A=60°,
∴∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.
∵∠DOE=120°,
∴∠POD=∠QOE.
∴△POD≌△QOE,
∴PD=EQ.
∴BD+CE=BP+PD+CE=BP+EQ+CE=BP+CQ=2BP=2×OB=BC.
(3)(2)中的結(jié)論不成立,線段BD、BC、CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD﹣CE=BC.
理由:如圖3,過點(diǎn)O作OP⊥AB于P,作OQ⊥AC于Q,
則有∠OPD=∠OQE=90°.
由(1)知△OBP≌△OCQ,
∴BP=CQ,OP=OQ.
∵∠A=60°,
∴∠POQ=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.
∵∠DOE=120°,
∴∠POD=∠QOE.
∴△POD≌△QOE,
∴PD=EQ.
在Rt△BOP中,∠B=60°,
∴BP=OB=BC
∴BD﹣CE=BP+PD﹣CE=CQ+EQ﹣CE=CQ+CQ+CE﹣CE=2CQ=2BP=2×BC=BC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛汽車在某次行駛過程中,油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系,其部分圖象如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫定義域)
(2)已知當(dāng)油箱中的剩余油量為8升時(shí),該汽車會(huì)開始提示加油,在此次行駛過程中,行駛了500千米時(shí),司機(jī)發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程,在開往該加油站的途中,汽車開始提示加油,這時(shí)離加油站的路程是多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A(﹣2,﹣1),B(1,3)兩點(diǎn),并且交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.
(1)求該一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世界500強(qiáng)H公司決定購(gòu)買某演唱會(huì)門票獎(jiǎng)勵(lì)部分優(yōu)秀員工,演唱會(huì)的購(gòu)票方式有以下兩種,
方式一:若單位贊助廣告費(fèi)10萬(wàn)元,則該單位所購(gòu)門票的價(jià)格為每張0.02萬(wàn)元(其中總費(fèi)用=廣告贊助費(fèi)+門票費(fèi));
方式二:如圖所示,設(shè)購(gòu)買門票x張,總費(fèi)用為y萬(wàn)元
(1)求用購(gòu)票“方式一”時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若H、A兩家公司分別釆用方式一、方式二購(gòu)買本場(chǎng)演唱會(huì)門票共400張,且A公司購(gòu)買超過100張,兩公司共花費(fèi)27.2萬(wàn)元,求H、A兩公司各購(gòu)買門票多少?gòu)垼?/span>
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)圖中與∠AOF互余的角是 _________ ;與∠COE互補(bǔ)的角是 _______ __ .(把符合條件的角都寫出來(lái))
(2)如果∠AOC=∠EOF,求∠AOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,按如下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫。虎谝渣c(diǎn)C為圓心,CB長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)D;③連結(jié)BD,與AC交于點(diǎn)E,連結(jié)AD,CD.
(1)填空:△ABC≌△ ;AC和BD的位置關(guān)系是
(2)如圖2,當(dāng)AB=BC時(shí),猜想四邊形ABCD是什么四邊形,并證明你的結(jié)論.
(3)在(2)的條件下,若AC=8cm,BD=6cm,則點(diǎn)B到AD的距離是 cm,若將四邊形ABCD通過割補(bǔ),拼成一個(gè)正方形,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2.
(1)點(diǎn)B在點(diǎn)A右邊距離A點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度,則點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是_____.
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng).現(xiàn)兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到-6的點(diǎn)處時(shí),求A、B兩點(diǎn)間的距離.
(3)在(2)的條件下,現(xiàn)A點(diǎn)靜止不動(dòng),B點(diǎn)以原速沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間A、B兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠計(jì)劃每天生產(chǎn)零件個(gè),但實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入. 下表是某周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)數(shù)量記為正、減產(chǎn)數(shù)量記為負(fù)):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 |
(1)由表可知該廠星期四生產(chǎn)零件 個(gè),這周實(shí)際生產(chǎn)零件 個(gè).(用含的代數(shù)式表示)
(2) 產(chǎn)量最高日比最低日多生產(chǎn)零件 個(gè).
(3) 若該周廠計(jì)劃每天生產(chǎn)零件數(shù)是,每個(gè)零件應(yīng)支付工資元,且每天超計(jì)劃數(shù)的零件每個(gè)另獎(jiǎng)元,那這周實(shí)際應(yīng)支付工資多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初中的圖書室平均每天借出圖書50冊(cè).如果某天借出53冊(cè),就記作+3;如果某天借出40冊(cè),就記作-10.上星期我校圖書室借出圖書記錄如下:
(1)上星期五借出圖書多少冊(cè)?
(2)上星期二比上星期五多借出圖書多少冊(cè)?
(3)上星期總共借出圖書多少冊(cè)?
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