Question

【題目】閱讀理解：如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到等號(hào)我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最值問題的有力工具．

初步探究：（1）已知x＞0，求函數(shù)y＝x+的最小值．

問題遷移：（2）學(xué)校準(zhǔn)備以圍墻一面為斜邊，用柵欄圍成一個(gè)面積為100m2的直角三角形，作為英語角，直角三角形的兩直角邊各為多少時(shí)，所用柵欄最短？

創(chuàng)新應(yīng)用：（3）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)點(diǎn)P（3，4），與坐標(biāo)軸正半軸相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求△AOB的內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

【答案】初步探究：（1）4；問題遷移：（2）x＝10m時(shí)，y有最小值，即所用柵欄最短；創(chuàng)新應(yīng)用：（3）R＝2．

【解析】

（1）根據(jù)x＞0，令a=x，b=，利用題中的新定義求出函數(shù)的最小值即可；
（2）設(shè)一直角邊為xm，則另一直角邊為m，柵欄總長為ym，根據(jù)題意表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用題中的新定義求出y取得最小值時(shí)x的值即可；
（3）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把P坐標(biāo)代入用k表示出b，進(jìn)而表示出A與B坐標(biāo)，確定出OA與OB的長，得出三角形AOB面積，利用題中的新定義求出三角形AOB面積最小時(shí)k的值，確定出直角三角形三邊，即可求出三角形AOB內(nèi)切圓半徑．

解：（1）令a＝x，b＝（x＞0），

由a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，即x＝2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為4；

（2）設(shè)一直角邊為xm，則另一直角邊為m，柵欄總長為ym，

y＝x+，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，即x＝10m時(shí)，y有最小值，即所用柵欄最短；

（3）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，

把P（3，4）代入得：4＝3k+b，

整理得：b＝4﹣3k，

∴直線AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4﹣3k；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，

即A（0，4﹣3k），B（，0），

∴S△AOB＝OBOA＝（4﹣3k）＝12﹣（），

∵要使△AOB的面積最小，

∴必須最大，

∵k＜0，

∴﹣k＞0，

∵=2×6＝12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，

解得：k＝±，

∵k＜0，

∴k＝﹣，

即OA＝4﹣3k＝8，OB＝6，

根據(jù)勾股定理得：AB＝10，

設(shè)三角形AOB的內(nèi)切圓的半徑是R，

由三角形面積公式得：×6×8＝×6R+×8R+×10R，

解得：R＝2．