【題目】已知:拋物線l1:y=﹣x2+bx+3交x軸于點A,B,(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C,其對稱軸為x=1,拋物線l2經(jīng)過點A,與x軸的另一個交點為E(5,0),交y軸于點D(0,﹣ ).

(1)求拋物線l2的函數(shù)表達式;
(2)P為直線x=1上一動點,連接PA,PC,當PA=PC時,求點P的坐標;
(3)M為拋物線l2上一動點,過點M作直線MN∥y軸,交拋物線l1于點N,求點M自點A運動至點E的過程中,線段MN長度的最大值.

【答案】
(1)解:∵拋物線l1:y=﹣x2+bx+3的對稱軸為x=1,

∴﹣ =1,解得b=2,

∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+2x+3,

令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,

∴A點坐標為(﹣1,0),

∵拋物線l2經(jīng)過點A、E兩點,

∴可設(shè)拋物線l2解析式為y=a(x+1)(x﹣5),

又∵拋物線l2交y軸于點D(0,﹣ ),

∴﹣ =﹣5a,解得a=

∴y= (x+1)(x﹣5)= x2﹣2x﹣ ,

∴拋物線l2的函數(shù)表達式為y= x2﹣2x﹣


(2)解:設(shè)P點坐標為(1,y),由(1)可得C點坐標為(0,3),

∴PC2=12+(y﹣3)2=y2﹣6y+10,PA2=[1﹣(﹣1)]2+y2=y2+4,

∵PC=PA,

∴y2﹣6y+10=y2+4,解得y=1,

∴P點坐標為(1,1)


(3)解:由題意可設(shè)M(x, x2﹣2x﹣ ),

∵MN∥y軸,

∴N(x,﹣x2+2x+3), x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3= x2﹣2x﹣ ,可解得x=﹣1或x= ,

①當﹣1<x≤ 時,MN=(﹣x2+2x+3)﹣( x2﹣2x﹣ )=﹣ x2+4x+ =﹣ (x﹣ 2+

顯然﹣1< ,∴當x= 時,MN有最大值 ;

②當 <x≤5時,MN=( x2﹣2x﹣ )﹣(﹣x2+2x+3)= x2﹣4x﹣ = (x﹣ 2 ,

顯然當x> 時,MN隨x的增大而增大,

∴當x=5時,MN有最大值, ×(5﹣ 2 =12;

綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中,線段MN長度的最大值為12


【解析】(1)由拋物線l1的對稱軸為x=1,得到b=2,得到拋物線l1的解析式,得到A點坐標為(﹣1,0),由待定系數(shù)法求出拋物線l2 的函數(shù)表達式;(2)設(shè)出P點坐標,由(1)可得C點坐標,由PC=PA,得到P點坐標為(1,1);(3)由題意可設(shè)出M點的坐標,由MN∥y軸,得到N點坐標,得出MN有最大值 ;②當 <x≤5時 ,顯然當x> 時,MN隨x的增大而增大,所以當x=5時,MN有最大值;綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中,線段MN長度的最大值為12;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.

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