Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，直線與y 軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若,求的值；

（3）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)落在y軸上？若存在，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5．(2) m=2或m=．(3) 點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，），（4，5），（3-，2-3）.

【解析】

試題（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形，然后根據(jù)PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí)，P點(diǎn)y軸上，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)．

試題解析：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：

，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=-x2+4x+5．

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴P（m，-m2+4m+5），E（m，-m+3），F(xiàn)（m，0）．

∴PE=|yP-yE|=|（-m2+4m+5）-（-m+3）|=|-m2+m+2|，

EF=|yE-yF|=|（-m+3）-0|=|-m+3|．

由題意，PE=5EF，即：|-m2+m+2|=5|-m+3|=|-m+15|

①若-m2+m+2=-m+15，整理得：2m2-17m+26=0，

解得：m=2或m=；

②若-m2+m+2=-（-m+15），整理得：m2-m-17=0，

解得：m=或m=．

由題意，m的取值范圍為：0＜m＜5，故m=、m=這兩個(gè)解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假設(shè)存在．

作出示意圖如下：

∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．

當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí)，

由直線CD解析式y(tǒng)=-x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

過點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO，

∴，

即，

解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，

又由（2）可知：PE=|-m2+m+2|

∴|-m2+m+2|=|m|．

①若-m2+m+2=m，整理得：2m2-7m-4=0，

解得m=4或m=-；

②若-m2+m+2=-m，整理得：m2-6m-2=0，解得m1=3+，m2=3-．

由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=3+這個(gè)解舍去．

當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí)，

此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，E，C，E'三點(diǎn)重合與y軸上，菱形不存在，即P點(diǎn)為（0，5）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，），（4，5），（3-，2-3）