【題目】定義:如圖1,ABCADEAB=AC=AD=AE,當(dāng)∠BAC+DAE=180°,我們稱ABCDAE互為頂補(bǔ)等腰三角形,ABC的邊BC上的高線AM叫做ADE頂心距,ADE的邊DE上的高線AN叫做ABC頂心距,點(diǎn)A叫做頂補(bǔ)中心”.

特例感知

1)圖2,3,ABCDAE互為頂補(bǔ)等腰三角形,AMAN頂心距”,

①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°AMDE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=_________DE,

②如圖3,當(dāng)∠BAC=120°,BC=6AN的長為_________,

猜想論證

2在圖1,當(dāng)∠BAC為任意角時,猜想AMDE之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

拓展應(yīng)用

3如圖4,在四邊形ABCD,AD=AB,CD=BC,B=90°A=60°,CD=2,在四邊形|ABCD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使 PADPBC互為頂補(bǔ)等腰三角形”?若存在請給予證明,并求PBC頂心距的長;若不存在, 請說明理由.

【答案】(1);3; (2) AM=DE,證明見解析; (3)存在,證明見解析, PM =1.

【解析】分析:(1)①證△BAC≌△DAE,BCDE由等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半得結(jié)論;ABM中,用勾股定理求AB,根據(jù)ADE是等邊三角形求解;(2)AAS證明△BAM≌△AND,AMND,DE2ND;(3)連接AC,證明△ADC≌△ABCPAPBPCPD,證明∠APD+∠BPC180°,得PADPBC互為頂補(bǔ)等腰三角形,結(jié)合(2)的結(jié)論求PBC頂心距的長.

詳解:(1)①∵∠BAC90,

又∵∠BAC+∠DAE180°,∴∠BAC=∠DAE90°.

又∵ABACADAE,

∴△BAC≌△DAE,BCDE.

RtABC中,AMBC邊上的高,

AMBC,AMDE.

故答案為.

②∵∠BAC120°ABAC,∴∠ABC30.

RtABM中,AB6,由勾股定理得,AM3,BM,

AD2.

∵∠BAC+∠DAE180°,

∴∠DAE60°,

又∵DAEA,∴△ADE是等邊三角形,

∴∠AND=90°,∠DAN=30°,∴DNAN3.

故答案為3.

(2)猜想:AMDE.

證明:ABACADAE,AM,AN為高線,

∴∠DANDAE,BAMBAC.

∵∠BAC+∠DAE180°∴∠DAN+∠BAM90°.

∵∠DAN+∠NDA90°,∴∠BAM=∠NDA.

∵∠AMB=∠AND90°ABAD,∴△BAM≌△AND,

DNDE,AMDE.

(3)存在,

如圖,連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PB,PD.

ADAB,CDBCACAC

∴△ADC≌△ABC,∴∠ABC=∠ADC90°.

PAC的中點(diǎn),

PBPAPCACPDPAPCAC.

PAPBPCPD,

又∵DCBC,PCPD,

∴△PDC≌△PBC∴∠DPC=∠BPC.

∵∠APD+∠DPC180°,APD+∠BPC180°,

∴△APD與△BPC互為頂補(bǔ)等腰三角形”,

過點(diǎn)PPMAD,則PM為△PBC頂心距PAPD,

AMDMAPPC,

PM是△ACD的中位線,

PMBCBC1.

練習(xí)冊系列答案
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①若前一個箱子丟紅球,則下一個箱子就丟綠球.

②若前一個箱子丟綠球,則下一個箱子就丟白球.

③若前一個箱子丟白球,則下一個箱子就丟紅球.他沿著圓周走了2020圈,求4號箱內(nèi)有_____顆紅球.

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1)請分別列式表示甲、乙兩家旅行社收取組團(tuán)兩日游的總費(fèi)用;

2)若王老師組團(tuán)參加兩日游的人數(shù)共有人,請你通過計算,在甲、乙兩家旅行社中,幫助王老師選擇收取總費(fèi)用較少的一家.

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1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖1),求證:AE=CG;

2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段,并證明.

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時間x(天)

1≤x<50

50≤x≤90

售價(元/件)

x+40

90

每天銷量(件)

200-2x

已知該商品的進(jìn)價為每件30元,設(shè)銷售該商品每天的利潤為y元。

(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?

(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結(jié)果。

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(1)判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)若tan∠P=,AD=6,求線段AE的長.

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(1)補(bǔ)全圖1;

(2)如圖1,當(dāng)∠BAC=90°時,

求證:BE=DE;

寫出判斷DFAB的位置關(guān)系的思路(不用寫出證明過程);

(3)如圖2,當(dāng)∠BAC=α時,直接寫出αDF,AE的關(guān)系.

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