Question

如下圖，已知△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm．如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2 cm/s．連接PQ，設(shè)運動的時間為t(單位：s)(0≤t≤4)．解答下列問題：

(1)當t為何值時，PQ∥BC．

(2)設(shè)△AQP面積為S(單位：cm²)，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．

(3)是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

(4)如下圖，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由PQ∥BC時的比例線段關(guān)系，列一元一次方程求解； 　　(2)如解答圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D，構(gòu)造比例線段，求得PD，從而可以得到S的表達式，然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值； 　　(3)要點是利用(2)中求得的△AQP的面積表達式，再由線段PQ恰好把△ABC的面積平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分； 　　(4)首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt△PQD中，求得時間t的值；最后求菱形的面積，值得注意的是菱形的面積等于△AQP面積的2倍，從而可以利用(2)中△AQP面積的表達式，這樣可以化簡計算． 　　解答：解：∵AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm， 　　∴由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形，∠C為直角． 　　(1)BP＝2t，則AP＝10－2t． 　　∵PQ∥BC，∴，即，解得t＝， 　　∴當t＝s時，PQ∥BC． 　　(2)如圖所示，過P點作PD⊥AC于點D． 　　∴PD∥BC，∴，即，解得PD＝6－t． 　　S＝×AQ×PD＝×2t×(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－)2＋， 　　∴當t＝s時，S取得最大值，最大值為cm2． 　　(3)假設(shè)存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分， 　　則有S△AQP＝S△ABC，而S△ABC＝AC·BC＝24，∴此時S△AQP＝12． 　　由(2)可知，S△AQP＝－t2＋6t， 　　∴－t2＋6t＝12，化簡得：t2－5t＋10＝0， 　　∵△＝(－5)2－4×1×10＝－15＜0，此方程無解， 　　∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分． 　　(4)假設(shè)存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ＝PQ＝BP＝2t． 　　如圖所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC， 　　∴，即， 　　解得：PD＝6－t，AD＝8－t， 　　∴QD＝AD－AQ＝8－t－2t＝8－t． 　　在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2＋PD2＝PQ2， 　　即(8－t)2＋(6－t)2＝(2t)2， 　　化簡得：13t2－90t＋125＝0， 　　解得：t1＝5，t2＝， 　　∵t＝5s時，AQ＝10cm＞AC，不符合題意，舍去，∴t＝． 　　由(2)可知，S△AQP＝－t2＋6t 　　∴S菱形AQPQ′＝2S△AQP＝2×(－t2＋6t)＝2×[－×()2＋6×]＝cm2． 　　所以存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為cm2． 　　點評：本題是非常典型的動點型綜合題，全面考查了相似三角形線段比例關(guān)系、菱形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式、二次函數(shù)的極值等知識點，涉及的考點眾多，計算量偏大，有一定的難度．本題考查知識點非常全面，是一道測試學生綜合能力的好題．

提示：

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)．