【題目】在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°

1將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG如圖①,求證:△AEG≌△AEF;

2若直線EF與AB,AD的延長線分別交于點(diǎn)M,N如圖②,求證:EF2=ME2+NF2

3將正方形改為長與寬不相等的矩形,若其余條件不變如圖③,請(qǐng)你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1證明見解析;2證明見解析;32DF2+BE2=EF2

【解析】

試題分析:1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,EAF=GAE=45°,故可證AEG≌△AEF;

2ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG,連結(jié)GM.由1AEG≌△AEF,則EG=EF.再由BME、DNF、CEF均為等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后證明GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2;

3ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到ADF≌△ABG,則DF=BG,再證明AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代換得到EF=BE+DF.

試題解析:1∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG,

AF=AG,FAG=90°,

∵∠EAF=45°

∴∠GAE=45°,

AGE與AFE中,

,

∴△AGE≌△AFE;

2設(shè)正方形ABCD的邊長為a.

ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG,連結(jié)GM.

ADF≌△ABG,DF=BG.

1AEG≌△AEF,

EG=EF.

∵∠CEF=45°,

∴△BME、DNF、CEF均為等腰直角三角形,

CE=CF,BE=BM,NF=DF,

a-BE=a-DF,

BE=DF,

BE=BM=DF=BG,

∴∠BMG=45°

∴∠GME=45°+45°=90°,

EG2=ME2+MG2,

EG=EF,MG=BM=DF=NF,

EF2=ME2+NF2;

3EF2=2BE2+2DF2

如圖所示,延長EF交AB延長線于M點(diǎn),交AD延長線于N點(diǎn),

ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AGH,連結(jié)HM,HE.

1AEH≌△AEF,

則由勾股定理有GH+BE2+BG2=EH2,

GH+BE2+BM-GM2=EH2

EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有GH+BE2+BE-GH2=EF2,

即2DF2+BE2=EF2

練習(xí)冊系列答案
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【題目】下列說法正確的是( )

A. 全等三角形是指形狀相同的三角形

B. 全等三角形是指面積相等的三角形

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1)試問:CG⊙O的切線嗎?說明理由;

2)請(qǐng)證明:EOB的中點(diǎn);

3)若AB=8,求CD的長.

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)F在邊BC上,且AF=AD,過點(diǎn)D作DE⊥AF,垂足為點(diǎn)E.

1求證:DE=AB.

2以D為圓心, DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G.若BF=FC=1,試求的長.

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【題目】完成下面推理過程:

如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:

∵∠1=∠2(已知),

∠1=∠CGD ),

∴∠2=∠CGD(等量代換).

∴CE∥BF ).

∴∠ =∠C ).

∵∠B=∠C(已知),

∴∠ =∠B(等量代換).

∴AB∥CD ).

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【題目】體育文化用品商店購進(jìn)籃球和排球共20個(gè),進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表,全部銷售完后共獲利潤260元.

籃球

排球

進(jìn)價(jià)(元/個(gè))

80

50

售價(jià)(元/個(gè))

95

60

求:(1)購進(jìn)籃球和排球各多少個(gè)?

(2)銷售6個(gè)排球的利潤與銷售幾個(gè)籃球的利潤相等?

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【題目】(1)發(fā)現(xiàn)

如圖,點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn),且,.

填空:當(dāng)點(diǎn)位于____________時(shí),線段的長取得最大值,且最大值為_________.(用含,的式子表示)

(2)應(yīng)用

點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn),且,.如圖所示,分別以,為邊,作等邊三角形和等邊三角形,連接,.

找出圖中與相等的線段,并說明理由;

直接寫出線段長的最大值.

(3)拓展

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn),且,,求線段長的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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