Question

．如圖2－114所示，在邊長為8cm的正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個點，它們分別從點A、點C同時出發(fā)，沿對角線以1 cm／s的相同速度運動，過E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角邊于H；過F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角邊于G，連接HG，EB. 設(shè)HE，EF，F(xiàn)G，GH圍成的圖形面積為S₁，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S₂(這里規(guī)定：線段的面積為0)．若E到達C，F(xiàn)到達A，則停止運動．若E的運動時間為x s，解答下列問題．

(1)當0＜x＜8時，直接寫出以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是什么四邊形，并求x為何值時，S₁=S₂；

(2)①若y是S₁與S₂的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(圖2－115為備用圖)②求y的最大值．

Answer 1

解：(1)以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是矩形．∵正方形ABCD的邊長為8，∴AC=16．∵AE＝x，過點B作BO⊥AC于O，如圖2－116所示，則BO＝8，∴S₂＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S₁=x(16－2x)．當S₁＝S₂，即x(16－2x)=4x時，解得x₁=0(舍去)，x₂＝6．∴當x＝6時，S₁＝S₂． 

(2)①當0≤x＜8時，如圖2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x²＋20x．當8≤x≤16時，如圖2－117所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S₁＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x²＋52x－256．(2)解法1：②當0≤x＜8時，y＝－2x²＋20x＝－2(x²－10x＋25)＋50=－2(x－5)²＋50，∴當x＝5時，y的最大值為50．當8≤x≤16時，y＝－2x²＋52x－256=－2(x－13)²＋82，∴當x＝13時，y的最大值為82．綜上可得，y的最大值為82．解法2：②y＝－2x²＋20x(0≤x＜8)，當x＝－＝5時，y_最大值＝＝50．y=－2x²＋52x－256(8≤x≤16)，當x=－＝13時，y_最大值=＝82．綜上可得，y的最大值為82．