【題目】(1)某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個題目:
如圖(1),在中,點(diǎn)在線段上,,,,,求的長.經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn):過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn),通過構(gòu)造就可以解決問題,如圖(2).請回答:______.
(2)求的長.
(3)請參考以上解決思路,解決問題:如圖(3),在四邊形中,對角線與相交于點(diǎn),,,,,求的長.
【答案】(1)75°;(2);(3).
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75°;
(2)結(jié)合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值,進(jìn)而可得出AD的值,由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角對等邊可得出AB的長;
(3)過點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E,同(1)可得出AE的長.在Rt△AEB中,利用勾股定理可求出BE的長度,再在Rt△CAD中,利用勾股定理可求出DC的長,此題得解.
(1)∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
(2)∵∠BOD=∠COA,∠ADB=∠OAC,
∴△BOD∽△COA,
∴.
又∵AO,
∴ODAO,
∴AD=AO+OD=.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=.
(3)過點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E,如圖所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴.
∵BO:OD=1:3,
∴.
∵AO=,
∴EO,
∴AE=.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即()2+BE2=(2BE)2,
解得:BE=,
∴AB=AC=,AD=4.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即,
解得:CD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蜜蜂是自然界神奇的“建筑師”,它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窩”,觀察下列的“蜂窩圖”.
(1)若““中每條邊看成1個建筑單位,則第1個圖形中共有19個建筑單位,第2個圖案中共有 個建筑單位:第3個圖案中共有 個建筑單位;第n個圖案中共有 個建筑單位.(用含有n的代數(shù)式表示)
(2)若現(xiàn)在有74個建筑單位材料,能建成符合上述規(guī)律的“蜂窩”嗎?若能求出它符合第幾圖形,若不能請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù),如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù):3、4、5;三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10;事實(shí)上,勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).
(1)另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù),請證明滿足以上公式的a、b、c的數(shù)是一組勾股數(shù).
(2)然而,世界上第一次給出的勾股數(shù)公式,收集在我國古代的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中,書中提到:當(dāng)a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n為正整數(shù),m>n時,a、b、c構(gòu)成一組勾股數(shù);利用上述結(jié)論,解決如下問題:已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù),其中一邊長為37,且n=5,求該直角三角形另兩邊的長.
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【題目】動點(diǎn)A(m+2,3m+4)在直線l上,點(diǎn)B(b,0)在x軸上,如果以B為圓心,半徑為1的圓與直線l有交點(diǎn),則b的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長是3,,連接、交于點(diǎn),并分別與邊、交于點(diǎn)、,連接,下列結(jié)論:①;②;③;④當(dāng)時,.正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】發(fā)現(xiàn)任意三個連續(xù)的整數(shù)中,最大數(shù)與最小數(shù)這兩個數(shù)的平方差是4的倍數(shù);
驗(yàn)證:(1) 的結(jié)果是4的幾倍?
(2)設(shè)三個連續(xù)的整數(shù)中間的一個為n,計算最大數(shù)與最小數(shù)這兩個數(shù)的平方差,并說明它是4的倍數(shù);
延伸:說明任意三個連續(xù)的奇數(shù)中,最大的數(shù)與最小的數(shù)這兩個數(shù)的平方差是8的倍數(shù).
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【題目】如圖,四邊形中,,,,將繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得 ,連接 ,.
(1)求證:≌;
(2)求證:;
(3)若,點(diǎn)在四邊形內(nèi)部運(yùn)動,且滿足,求點(diǎn)運(yùn)動路徑的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點(diǎn)B,C,∠F=30°.
(1)求證:BE=CE
(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N.(如圖2)
①求證:△BEM≌△CEN;
②若AB=2,求△BMN面積的最大值;
③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時,點(diǎn)B恰好在FG上(如圖3),求sin∠EBG的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C,以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.
(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo);
(2)將△ABC對折,使得點(diǎn)A的與點(diǎn)C重合,折痕交AB于點(diǎn)D,求直線CD的解析式(圖②);
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外),使得△APC與△ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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