【答案】
分析:(1)因為拋物線過A、B、C三點,所以此三點的坐標(biāo)使拋物線的解析式成立.
(2)①此題要分作兩種情況進行討論:
①當(dāng)P點位于原點左側(cè),線段OA上;此時-1≤t≤0,可過F作FD⊥x軸于D,由此可得到DF的長,以BP為底,DF為高,即可求得△BPF的面積表達式,也就得到了關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)P點位于原點右側(cè),線段OB上;此時0<t≤5,可仿照一的方法進行求解;
(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(t,0),假若這樣的等腰三角形存在,再進行分類,當(dāng)P點在線段OA上和線段OB上,求出FB和PF的長,令|BF|=|PF|,求出t的值即可.
解答:解:(1)(法一)設(shè)拋物線的解析式為y=ax
2+bx+2(a≠0),把A(-1,0),B(5,0),三點代入解析式得:
,
解得
;
∴
;
(法二)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)(x+1),
把(0,2)代入解析式得:2=-5a,
∴
;
∴
,
即
;
(2)①過點F作FD⊥x軸于D,如圖1,
當(dāng)點P在原點左側(cè)時(-1≤t<0),BP=5-t,DF=-t;
∴S
△PBF=
=
-
t(-1≤t≤0),
當(dāng)t=-1時,S
△PBF有最大值2;此時P點坐標(biāo)為(-1,0);
②當(dāng)點P在原點右側(cè)時(0<t≤5),如圖2,DF=t,BP=5-t;
∴S
△PBF=
=-
t
2+
t(0<t≤5);
當(dāng)t=
時,S
△PBF有最大值
;此時坐標(biāo)為(
,0);
綜上S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=
,
當(dāng)t=
時,S
△PBF有最大值
;此時坐標(biāo)為(
,0);
(3)能;
設(shè)P點坐標(biāo)為(t,0),
當(dāng)-1≤t≤0時,這樣的等腰三角形不存在,
當(dāng)0<t≤5時,如圖3,F(xiàn)點坐標(biāo)為(2+t,t),
PF=
,F(xiàn)B=
,
若△PBF是等腰三角形,則PF=FB,
解得t=1或t=5(不符合題意舍去),
故當(dāng)t=1時△PBF是等腰三角形.
點評:此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、以及三角形面積的求法等重要知識點;在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果,此題綜合性較強,難度較大.